余弦定理課件|余弦定理課件（集合十九篇）
發表時間：2019-05-27余弦定理課件（集合十九篇）。
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本節課為人教版八年級數學下冊第十八章第一節，教材64頁至66頁（不含探究1）的內容。其內容包括章前對勾股定理整章的引入：2002年北京召開的國際數學家大會的會徽及“趙爽弦圖”的簡介，反映了我國古代對勾股定理的研究成果，是對學生進行愛國主義教育的良好素材。教材正文中從畢達哥拉斯發現等腰直角三角形的邊之間的數量關系這一事實引入對勾股定理的探究，用面積法得到勾股定理的結論，而后教材又重點從“趙爽弦圖”的方法對勾股定理進行了詳細的論證；課后習題18.1的第1、2、7、11、12等題目針對勾股定理的內容適當的加以鞏固，特別是第11、12題側重對面積法運用的鞏固。
勾股定理是幾何中幾個重要定理之一，揭示了直角三角形三邊之間的數量關系，是對直角三角形性質的進一步學習和深入，它可以解決許多直角三角形中的計算問題，在實際生活中用途很大。它不僅在數學領域而且在其他自然科學領域中也被廣泛地應用，而說明數學是一門基礎學科，是人們生活的基本工具。
學生接受勾股定理的內容“在直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”這一事實從學習的角度不難，包括對它的應用也不成問題。但對勾股定理的論證，教材中介紹的面積證法即：依據圖形經過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積就不會改變。學生接受起來有障礙（是第一次接觸面積法），因此從面積的“分割”“補全”兩種方法進行演示同時學生動手親自拼接圖形構成“趙爽弦圖”并親自驗證三個正方形之間的面積關系得到勾股定理的證明。有利的讓學生經歷了“感知、猜想、驗證、概括、證明”的認知過程，感觸知識的產生、發展、形成以提高學生學習習慣和能力。
本節的后續學習中，對勾股定理運用的探究和勾股定理逆命題的論證和應用，都是將圖形與數量緊密的結合，將有利的培養學生數形結合的意識以提高學生分析問題、解決問題的能力。同時也為后期學習四邊形、圓中的有關計算及計算物體面積奠定基礎，因此本節課無論從知識的角度還是從數學技能、數學思想方法及數學活動經驗等層面都起著舉足輕重的作用。為此，教學重點：勾股定理的內容教學難點：勾股定理的論證
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1.1余弦定理
一、學習目標
1、會利用數量積證明余弦定理，體會向量工具在解決三角形的度量問題時的作用。
2、會運用余弦定理解決兩類解三角形的問題。
二、重點與難點
重點：余弦定理的證明及其基本作用
難點：理解余弦定理的作用與適用范圍
三、復習回顧
1.正弦定理的內容是什么？
2.正弦定理主要解決哪些解三角形問題？
四、問題導學：
自學教材P49—51頁，回答下面問題。
1、余弦定理的內容是什么? 請用文字語言和數學符號表示出來.嘗試自己證明同理的兩個等式
2、余弦定理和勾股定理什么關系？
3、余弦定理能解決哪類解三角形的問題？
4、例4，例5各是什么問題?怎么解決？
五、你還有什么問題？
六、自學檢測
1、在△ABC中，下列等式中不成立的是（）
A a2?b2?c2?2bccosABb2?c2?a2?2accosB C cosA?b?c?a222
2bc2ab2、已知在△ABC中，a?2,b?5,c?6,則cosB?_________DcosC?a?b?c222。
3、已知在△ABC中b?3,c?5,A?120，則a?____________。
4、在△ABC中，已知a?7,b?8,cosC?
七、當堂訓練
1、課本p51頁練習1，22、在△ABC中，b?3,c?33,B?30,求a的值
八、課堂反思
九、能力提升
1.在△ABC中，B?60,且AB?1，BC?4，則邊BC上的中線AD的長為_________
2.在△ABC中，AB?7,BC?5，CA?6，則AB?BC的值為______________
3、已知△ABC的三邊分別是2,3,4，則判斷此三角形的形狀
4、在△ABC中，a?1,B?45,且此三角形的面積是2，求這個三角形外接圓的直徑 ???1314，則最大角的余弦為___________ ?
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一、內容和內容解析
1。內容
應用勾股定理及勾股定理的逆定理解決實際問題。
2。內容解析
運用勾股定理的逆定理可以從三角形邊的數量關系來識別三角形的形狀，它是用代數方法來研究幾何圖形，也是向學生滲透“數形結合”這一數學思想方法的很好素材。綜合運用勾股定理及其逆定理能幫助我們解決實際問題。
基于以上分析，可以確定本課的教學重點是靈活運用勾股定理的逆定理解決實際問題。
二、目標和目標解析
1。目標
（1）靈活應用勾股定理及逆定理解決實際問題。
（2）進一步加深性質定理與判定定理之間關系的認識。
2。目標解析
達成目標（1）的標志是學生通過合作、討論、動手實踐等方式，在應用題中建立數學模型，準確畫出幾何圖形，再熟練運用勾股定理逆定理判斷三角形狀及求邊長、面積、角度等；
目標（2）能先用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是直角三角形，再用勾股定理及直角三角形的性質進行有關的計算和證明。
三、教學問題診斷分析
對于大部分學生將實際問題抽象成數學模型并進行解析與應用，有一定的困難，所以在教學時應該注意啟發引導學生從實際生活中所遇到的問題出發，鼓勵學生以勾股定理及逆定理的知識為載體建立數學模型，利用數學模型去解決實際問題。
本課的教學難點是靈活運用勾股定理及逆定理解決實際問題。
四、教學過程設計
1。復習反思，引出課題
問題1 通過前面的學習，我們對勾股定理及其逆定理的知識有一定的了解，請說出勾股定理及其逆定理的內容。
師生活動：學生回答勾股定理的內容“如果直角三角形的兩條直角邊長分別為，斜邊長為，那么；勾股定理的逆定理“如果三角形的三邊長滿足，那么這個三角形是直角三角形。
追問：你能用勾股定理及逆定理解決哪些問題？
師生活動：學生通過思考舉手回答，教師板書課題。
【設計意圖】通過復習勾股定理及其逆定理來引入本課時的學習任務——應用勾股定理及逆定理解決有關實際問題。
2。 點擊范例，以練促思
問題2 某港口位于東西方向的海岸線上。“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里。它們離開港口一個半小時后相距30海里。如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？
師生活動：學生讀題，理解題意，弄清楚已知條件和需解決的問題，教師通過梯次性問題的展示，適時點撥，學生嘗試畫圖、估測、交流中分化難點完成解答。
追問1：請同學們認真審題，弄清已知是什么？解決的問題是什么？
師生活動：學生通過思考舉手回答，教師在黑板上列出：已知兩種船的航速，它們的航行時間以及相距的路程， “遠航”號的航向——東北方向；解決的問題是“海天”號的航向。
追問2：你能根據題意畫出圖形嗎？
師生活動：學生嘗試畫圖，教師在黑板上或多媒體中畫出示意圖。
追問3：在所畫的圖中哪個角可以表示“海天”號的航向？圖中知道哪個角的度數？
師生活動：學生小組討論交流回答問題“海天”號的航向只要能確定∠QPR的大小即可。組內討論解答，小組代表展示解答過程，教師適時點評，多媒體展示規范解答過程。
解：根據題意，
因為
，即
，所以
由“遠航”號沿東北方向航行可知
。因此
，即“海天”號沿西北方向航行。
課堂練習1。 課本33頁練習第3題。
課堂練習2。 在
港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東
方向以每小時8海里速度前進，乙船沿南偏東某方向以每小時15海里速度前進，1小時后甲船到達
島，乙船到達
島，且
島與
島相距17海里，你能知道乙船沿哪個方向航行嗎？
【設計意圖】學生在規范化的解答過程及練習中，提升對勾股定理逆定理的認識以及實際應用的能力。
3。 補充訓練，鞏固新知
問題3 實驗中學有一塊四邊形的空地
若每平方米草皮需要200元，問學校需要投入多少資金購買草皮？
師生活動：先由學生獨立思考。若學生有想法，則由學生先說思路，然后教師追問：你是怎么想到的？對學生思路中的合理成分進行總結；若學生沒有思路，教師可引導學生分析：從所要求的結果出發是要知道四邊形的面積，而四邊形被它的一條對角線分成兩個三角形，求出兩個三角形的面積和即可。啟發學生形成思路，最后由學生演板完成。
【設計意圖】引導學生利用輔助線解決問題，進一步養成利用勾股定理的逆定理解決實際問題的意識。
4。 反思小結，觀點提煉
教師引導學生參照下面兩個方面，回顧本節課所學的主要內容，進行相互交流：
（1）知識總結：勾股定理以及逆定理的實際應用；
（2）方法歸納：數學建模的思想。
【設計意圖】通過小結，梳理本節課所學內容，總結方法，體會思想。
5。布置作業
教科書34頁習題17。2第3題，第4題，第5題，第6題。
五、目標檢測設計
1。小明在學校運動會上負責聯絡，他先從檢錄處走了75米到達起點，又從起點向東走了100米到達終點，最后從終點走了125米，回到檢錄處，則他開始走的方向是（假設小明走的每段都是直線） （ ）
A。南北 B。東西 C。東北 D。西北
【設計意圖】考查運用勾股定理的逆定理解決實際生活問題。
2。甲、乙兩船同時從
港出發，甲船沿北偏東
的方向，以每小時9海里的速度向
島駛去，乙船沿另一個方向，以每小時12海里的速度向
島駛去，3小時后兩船同時到達了目的地。如果兩船航行的速度不變，且
兩島相距45海里，那么乙船航行的方向是南偏東多少度？
【設計意圖】考查建立數學模型，準確畫出幾何圖形，運用勾股定理的逆定理解決實際生活問題。
3。如圖是一塊四邊形的菜地，已知
求這塊菜地的面積。
【設計意圖】考查利用勾股定理及逆定理將不規則圖形轉化為直角三角形，巧妙地求解。
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1.13;直角三角形 2. 3.直角;6 4.8.4 5.直角三角形;勾股定理的逆定理 6.184 cm2
11.周長為48，面積為84. 提示：根據勾股定理的逆定理可知 為直角三角形，故AD BC，再根據勾股定理可得BD=6，從而可求解.
12. 為等腰三角形.
理由：在 中，AB=17cm，AD=8 cm，BD=15 cm，
為直角三角形.
AC=17 cm，
為等腰三角形.
13.符合.
14.連接AC，得 ，由勾股定理知AC=5，
AC2+CD2=52+122=169=132=AD2， ACD=S四邊形ABCD=S ABC+S ACD== 6+30=36.
15.詹克21歲，凱麗20歲，現在共有11個子女.
16.如圖，由題意知AB=3 m，CD=14-l=13 m，BD=24 m.過A作AE CD于E，則CE=13-3=10 m，AE=BD=24 m.在中，AC2=CE2+AF=102+242=262 m2， AC=26 m， 265=5.2 s， 它至少需要5.2 s才能趕回巢中.
17.(1)①每個等式中的三個底數都正好組成一組勾股數;
②每個等式中的最小的底數恰好是連續的奇數;
③最大的底數比第二大的底數大1;
④第二大的底數是偶數，最大的底數是奇數;
⑤這些等式中的底數都是代數式m2-n2，2mn，m2+n2，當m和n取不同正整數時得到的數.
(2)第五個式子應當是m=6，n=5時，所得的三個底數的平方和，即112+602=612.
18.(1)(48，14，50).
(2)設n2，且n為整數，勾股數組的規律為 (n2-l，n2，n2+1).
(3) (n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=(n2+1)2，
以n2-1，2n，n2+l為三邊長的三角形為直角三角形.
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高中數學余弦定理
[教學設計說明]
一、教案說明：
在進入21世紀的當前，教育正在由應試教育向素質教育轉變，實施素質教育就要求每位教師加強素質教育課堂教學模式和教學策略的研究，這是歷史賦予我們這一代教育工作者的重任，也是一種機遇和挑戰。
《余弦定理》一課教學模式和策略設計就是想讓素質教育如何落實在課堂教學的每一個環節上進行一些探索和研究。旨在通過學生自己的思維活動獲取數學知識，提高學生基礎性學力(基礎能力)，培養學生發展性學力(培養終身學習能力)，誘發學生創造性學力(提高應用能力)，最終達到素質教育目的。為此，我在設計這節課時，采用開放式課堂教學模式，以學生參與為主，教師啟發、點撥的課堂教學策略。
開放式教學模式是充分建立在學生學習過程認識上的一種模式，其充分注重“人”的學習心理，通過設置開放性問題，問題的層次性推進和教師啟發、點撥發展學生有效思維，提高數學能力，達到上述三種學力的提高、培養和誘發。以學生參與為主，教師啟發、點撥教學策略是體現以學生發展為本的現代教育觀，在開放式討論過程中，提高學生的數學基礎能力，發展學生的各種數學需要，使其獲得終身受用的數學基礎能力和創造才能。
根據上述的體會、想法，我在余弦定理第一節教學課的設計上進行一些探索，用圖解說明如下：
二、教學目標：
1．掌握余弦定理及其多種推導過程。
2．通過一題多解，培養學生思維的靈活性，提高數學交流能力。3．綜合運用正弦定理和余弦定理解決有關的實際問題。
三、教學重點、難點：
重點是余弦定理的推導及其應用。難點是綜合運用正弦定理和余弦定理解決有關解斜三角形的應用題。[教學過程]
一、借助直觀，激發興趣，提出問題。
問題一：判別給出的四個三角形模型的形狀(不用測角工具)。
學生在回答過程中發現，有些三角形是很難憑自己經驗知識和直觀感覺就能做出判斷。顯然，我們可測出三角形的三邊長，這個問題就可歸納到這樣的問題：已知三角形三邊長，求三個角(只需求最大角)大小問題。
二、學生思考，小組交流，解決問題。
問題二：在ΔABC中，已知a=7，b=5，c=3，求最大角。
學生不同的解法簡錄：
方法一(方程思想)：如圖，BC2=CD2+BD2
即a2=：(b-ccosA)2十(csinA)2
方法二(解析法)：如圖建立直角坐標系，B(ccosA，csinA)C(b，0)，由│BC│=a可得。
方法三(三角法)：如圖，設∠CAD=α,∠BAD=β AD=x, CD=y，則c2-(a-y)2=b2-y2，2ay：b2+a2-c2，X2+y2=b2
cosA：COS(a十β)：COSaCOSβ—sinasinβ
教師巡視，啟發點撥學生參與一題多解解法探求，組成四人小組交流發言，形成開放性求解研究的趣味，結果發現學生有三種不同的解法。有利于發展學生思維的廣闊性，優化學生思維的品質，提高數學交流能力。
三、讓學生在實踐中歸納整理得到余弦定理。歸納得：
并把這些數學表達式敘述成數學語言。
讓學生掌握由特殊到一般，類比、抽象和歸納等數學思想方法，并探求出一般結論——余弦定理。
四、使學生認識到數學源于實踐，服務實踐。
問題三：如何用余弦定理判別△ABC形狀(已知三邊長a、b、c)。
解:不妨設a
a2十b2>，c2<=> △ABC為銳角三角形，a2十b2=c2<=>ABC為直角三角形，a2十b2
問題四：請你設計一種方法，在河的一側測量出對岸某兩點間距離(工具有尺和測角器)。
學生方案實錄：
方案一：如圖一，在A、B所在對岸取點C，使A、B、C三點共線，再測出∠ACD=90°，CD=a，∠CDA=α，∠CDB=α，即可求AB=a(tgβ—tgα)方案二：如圖二，在A、B所在對岸取三點P、C、D，測出∠APC=∠BPD=90°，PC=a，PD=b，∠APB=θ，∠ACP=α，∠PDB=β，則AP=atgα，BP=btgβ，再由余弦定理可求得AB長。方案三：如圖三，在A、B所在對岸取C、D兩點，測出∠BCD=α，∠CDB=β，CD=a，由正弦定理得再測出∠ACD=Φ ,∠ADC=θ，由正弦定理得 在△ABD中, 再由余弦定理求得AB=√AD2+BD2-2AD.BDcos(β-θ)以四人小組展開討論、交流，教師巡視、啟發、點撥，最終出現三種解決問題的方法。通過開放性應用數學問題的解決，讓學生思維得到升華，并在問題解決中感悟到探索價值，發展創造性思維。
五、小結。
增強學生記憶，加深理解，發展思維，培養數學交流能力。在教師啟發、點撥下，讓學生參與完成小結。1．掌握余弦定理表達式、各種變形表達式及語言敘述。2．余弦定理適用范圍，重視正、余弦定理的綜合應用。
? 余弦定理課件 ?
各位評委老師，
下午好！今天我說課的題目是余弦定理，說課的內容為余弦定理第二課時，下面我將從說教材、說學情、說教法和學法、說教學過程、說板書設計這四個方面來對本課進行詳細說明：
一、說教材
（一）教材地位與作用
《余弦定理》是必修5第一章《解三角形》的第一節內容，前面已經學習了正弦定理以及必修4中的任意角、誘導公式以及恒等變換，為后面學習三角函數奠定了基礎，因此本節課有承上啟下的作用。本節課是解決有關斜三角形問題以及應用問題的一個重要定理，它將三角形的邊和角有機地聯系起來，實現了“邊”與“角”的互化，從而使“三角”與“幾何”產生聯系，為求與三角形有關的量提供了理論依據，同時也為判斷三角形形狀，證明三角形中的有關等式提供了重要依據。
（二）教學目標
根據上述教材內容分析以及新課程標準，考慮到學生已有的認知結構，心理特征及原有知識水平，我將本課的教學目標定為：
⒈知識與技能：
掌握余弦定理的內容及公式；能初步運用余弦定理解決一些斜三角形
⒉過程與方法：
在探究學習的過程中，認識到余弦定理可以解決某些與測量和幾何計算有關的實際問題，幫助學生提高運用有關知識解決實際問題的能力。
⒊情感、態度與價值觀：
培養學生的探索精神和創新意識；在運用余弦定理的過程中，讓學生逐步養成實事求是，扎實嚴謹的科學態度，學習用數學的思維方式解決問題，認識世界；通過本節的運用實踐，體會數學的科學價值，應用價值；
（三）本節課的重難點
教學重點是：運用余弦定理探求任意三角形的邊角關系，解決與之有關的計算問題，運用余弦定理解決一些與測量以及幾何計算有關的實際問題。
教學難點是：靈活運用余弦定理解決相關的實際問題。
教學關鍵是：熟練掌握并靈活應用余弦定理解決相關的實際問題。
下面為了講清重點、難點，使學生能達到本節設定的教學目標，我再從教法和學法上談談：
二、說學情
從知識層面上看，高中學生通過前一節課的學習已經掌握了余弦定理及其推導過程；從能力層面上看，學生初步掌握運用余弦定理解決一些簡單的斜三角形問題的技能；從情感層面上看，學生對教學新內容的學習有相當的興趣和積極性，但在探究問題的能力以及合作交流等方面的發展不夠均衡。
三、說教法和學法
貫徹的指導思想是把“學習的主動權還給學生”,倡導“自主、合作、探究”的學習方式。讓學生自主探索學會分析問題，解決問題。
四、說教學過程
下面為了完成教學目標，解決教學重點，突破教學難點，課堂教學我準備按以下五個環節展開：
環節⒈復習引入
由于本節課是余弦定理的第一課時，因此先領著學生回顧復習上節課所學的內容，采用提問的方式，找同學回答余弦定理的內容及公式，并且讓學生回想公式推導的思路和方法，這樣一來可以檢驗學生對所學知識的掌握情況，二來也為新課作準備。
環節⒉應用舉例
在本環節中，我將給出兩道典型例題
△ABC的頂點為A（6,5），B（-2,8）和C（4,1），求（精確到）。
已知三點A（1,3），B（-2,2），C（0,-3），求△ABC各內角的大小。
通過利用余弦定理解斜三角形的思想，來對這兩道例題進行分析和講解；本環節的目的在于通過典型例題的解答，鞏固學生所學的知識，進一步深化對于余弦定理的認識和理解，提高學生的理解能力和解題計算能力。
環節⒊練習反饋
練習B組題，1、2、3;習題1-1A組，1、2、3
在本環節中，我將找學生到黑板做題，期間巡視下面同學的做題情況，加以糾正和講解；通過解決書后練習題，鞏固學生當堂所學知識，同時教師也可以及時了解學生的掌握情況，以便及時調整自己的教學步調。
環節⒋歸納小結
在本環節中，我將采用師生共同總結-交流-完善的方式，首先讓學生自己總結出余弦定理可以解決哪些類型的問題，再由師生共同完善，總結出余弦定理可以解決的兩類問題：⑴已知三邊，求各角；⑵已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角。本環節的目的在于引導學生學會自己總結；讓學生進一步體會知識的形成、發展、完善的過程。
環節⒌課后作業
必做題：習題1-1A組，6、7;習題1-1B組，2、3、4、5
選做題：習題1-1B組7,8,9.
基于因材施教的原則，在根據不同層次的學生情況，把作業分為必做題和選做題，必做題要求所有學生全部完成，選做題要求學有余力的學生完成，使不同程度的學生都有所提高。本環節的目的是讓學生進一步鞏固和深化所學的知識，培養學生的自主探究能力。
五、說板書
在本節課中我將采用提綱式的板書設計，因為提綱式-條理清楚、從屬關系分明，給人以清晰完整的印象，便于學生對教材內容和知識體系的理解和記憶。
? 余弦定理課件 ?
教學目標 知識目標：
(1)學生通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦、余弦定理的內容及其證明方法;會運用正、余弦定理與三角形內角和定理，面積公式解斜三角形的兩類基本問題。
(2)學生學會分析問題，合理選用定理解決三角形綜合問題。
能力目標：
培養學生提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力，培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力，培養學生合情推理探索數學規律的數學思維能力。
情感目標：
通過生活實例探究回顧三角函數、正余弦定理，體現數學來源于生活，并應用于生活，激發學生學習數學的興趣,并體會數學的應用價值，在教學過程中激發學生的探索精神。
教學方法 探究式教學、講練結合
重點難點 1、正、余弦定理的對于解解三角形的合理選擇;
2、正、余弦定理與三角形的有關性質的綜合運用。
教學策略 1、重視多種教學方法有效整合;
2、重視提出問題、解決問題策略的指導。
3、重視加強前后知識的密切聯系。
4、重視加強數學實踐能力的培養。
5、注意避免過于繁瑣的形式化訓練
6、教學過程體現“實踐→認識→實踐”。
設計意圖：
學生通過必修5的學習，對正弦定理、余弦定理的內容已經了解，但對于如何靈活運用定理解決實際問題，怎樣合理選擇定理進行邊角關系轉化從而解決三角形綜合問題，學生還需通過復習提點有待進一步理解和掌握。作為復習課一方面要將本章知識作一個梳理，另一方面要通過整理歸納幫助學生學會分析問題，合理選用并熟練運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決三角形綜合問題和實際應用問題。
數學思想方法的教學是中學數學教學中的重要組成部分，有利于學生加深數學知識的理解和掌握。雖然是復習課，但我們不能一味的講題，在教學中應體現以下教學思想：
⑴重視教學各環節的合理安排：
在生活實踐中提出問題，再引導學生帶著問題對新知進行探究，然后引導學生回顧舊知識與方法，引出課題。激發學生繼續學習新知的欲望，使學生的知識結構呈一個螺旋上升的狀態，符合學生的認知規律。
⑵重視多種教學方法有效整合，以講練結合法、分析引導法、變式訓練法等多種方法貫穿整個教學過程。
⑶重視提出問題、解決問題策略的指導。
⑷重視加強前后知識的密切聯系。對于新知識的探究,必須增加足夠的預備知識,做好銜接。要對學生已有的知識進行分析、整理和篩選，把對學生后繼學習中有需要的知識選擇出來，在新知識介紹之前進行復習。
⑸注意避免過于繁瑣的形式化訓練。從數學教學的傳統上看解三角形內容有不少高度技巧化、形式化的問題，我們在教學過程中應該注意盡量避免這一類問題的出現。
二、實施教學過程
(一) 創設情境、揭示提出課題
引例：要測量南北兩岸A、B兩個建筑物之間的距離，在南岸選取相距A點 km的C點，并通過經緯儀測的 ，你能計算出A、B之間的距離嗎?若人在南岸要測量對岸B、D兩個建筑物之間的距離，該如何進行?
(二) 復習回顧、知識梳理
1. 正弦定理：
正弦定理的變形：
(1)
(2) ; ;
利用正弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題.
(1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角;
(2)已知兩邊和其中一邊的.對角，求另一邊的對角.(從而進一步求出其他的邊和角)
2.余弦定理：
a2=b2+c2-2bccosA;
b2=c2+a2-2cacosB;
c2=a2+b2-2abcosC.
cosA= ;
cosB= ;
cosC=.
利用余弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題：
(1)已知三邊，求三個角;
(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.
3.三角形面積公式：
(三) 自主檢測、知識鞏固
1. ;
2.
3.
(四) 典例導航、知識拓展
【例1】 △ABC的三個內角A、B、C的對邊分別是a、b、c，如果a2=b(b+c)，求證：A=2B.
剖析：研究三角形問題一般有兩種思路.一是邊化角，二是角化邊.
證明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b(b+c)中，得sin2A=sinB(sinB+sinC) sin2A-sin2B=sinBsinC
因為A、B、C為三角形的三內角，所以sin(A+B)≠0.所以sin(A-B)=sinB.所以只能有A-B=B，即A=2B.
評述：利用正弦定理，將命題中邊的關系轉化為角間關系，從而全部利用三角公式變換求解.
思考討論：該題若用余弦定理如何解決?
【例2】已知a、b、c分別是△ABC的三個內角A、B、C所對的邊，
(1) 若△ABC的面積為，c=2,A=600,求邊a,b的值;
(2) 若a=ccosB,且b=csinA,試判斷△ABC的形狀。
(五) 變式訓練、歸納整理
【例3】已知a、b、c分別是△ABC的三個內角A、B、C所對的邊，若bcosC=(2a-c)cosB
(1) 求角B
(2) 設,求a+c的值。
剖析：同樣知道三角形中邊角關系，利用正余弦定理邊化角或角化邊，從而解決問題，此題所變化的是與向量相結合，利用向量的模與數量積反映三角形的邊角關系，把本質看清了，問題與例2類似解決。
此題分析后由學生自己作答，利用實物投影集體評價，再做歸納整理。
(解答略)
課時小結(由學生歸納總結，教師補充)
1. 解三角形時，找三邊一角之間的關系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關系常用正弦定理
2. 根據所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：①化邊為角;②化角為邊.并常用正余弦定理實施邊角轉化。
3. 用正余弦定理解三角形問題可適當應用向量的數量積求三角形內角與應用向量的模求三角形的邊長。
4. 應用問題可利用圖形將題意理解清楚，然后用數學模型解決問題。
5. 正余弦定理與三角函數、向量、不等式等知識相結合，綜合運用解決實際問題。
課后作業：
材料三級跳
創設情境，提出實際應用問題，揭示課題
學生在探究問題時發現是解三角形問題，通過問答將知識作一梳理。
學生通過課前預熱1.2.3.的快速作答，對正余弦定理的基本運用有了一定的回顧
學生探討
知識的關聯與拓展
正余弦定理與三角形內角和定理，面積公式的綜合運用對學生來說也是難點，尤其是根據條件判斷三角形形狀。此處列舉例2讓學生進一步體會如何選擇定理進行邊角互化。
? 余弦定理課件 ?
教材分析這是高三一輪復習，內容是必修5第一章解三角形。本章內容準備復習兩課時。本節課是第一課時。標要求本章的中心內容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后應落實在解三角形的應用上。通過本節學習，學生應當達到以下學習目標：
（1）通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理解三角形。
（2）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法判斷三角形形狀的問題。本章內容與三角函數、向量聯系密切。
作為復習課一方面將本章知識作一個梳理，另一方面通過整理歸納幫助學生進一步達到相應的學習目標。
學情分析學生通過必修5的學習，對正弦定理、余弦定理的內容已經了解，但對于如何靈活運用定理解決實際問題，怎樣合理選擇定理進行邊角關系轉化從而解決三角形綜合問題，學生還需通過復習提點有待進一步理解和掌握。
教學目標知識目標：
（1）學生通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦、余弦定理的內容及其證明方法；會運用正、余弦定理與三角形內角和定理，面積公式解斜三角形的兩類基本問題。
（2）學生學會分析問題，合理選用定理解決三角形綜合問題。
能力目標：
培養學生提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力，培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力，培養學生合情推理探索數學規律的數學思維能力。
情感目標：
通過生活實例探究回顧三角函數、正余弦定理，體現數學來源于生活，并應用于生活，激發學生學習數學的興趣，并體會數學的應用價值，在教學過程中激發學生的探索精神。
教學方法探究式教學、講練結合
重點難點
1、正、余弦定理的對于解解三角形的合理選擇；
2、正、余弦定理與三角形的有關性質的綜合運用。
教學策略
1、重視多種教學方法有效整合；
2、重視提出問題、解決問題策略的指導。
3、重視加強前后知識的密切聯系。
4、重視加強數學實踐能力的'培養。
5、注意避免過于繁瑣的形式化訓練
6、教學過程體現“實踐→認識→實踐”。
設計意圖：
學生通過必修5的學習，對正弦定理、余弦定理的內容已經了解，但對于如何靈活運用定理解決實際問題，怎樣合理選擇定理進行邊角關系轉化從而解決三角形綜合問題，學生還需通過復習提點有待進一步理解和掌握。作為復習課一方面要將本章知識作一個梳理，另一方面要通過整理歸納幫助學生學會分析問題，合理選用并熟練運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決三角形綜合問題和實際應用問題。
數學思想方法的教學是中學數學教學中的重要組成部分，有利于學生加深數學知識的理解和掌握。雖然是復習課，但我們不能一味的講題，在教學中應體現以下教學思想：
⑴重視教學各環節的合理安排：
在生活實踐中提出問題，再引導學生帶著問題對新知進行探究，然后引導學生回顧舊知識與方法，引出課題。激發學生繼續學習新知的欲望，使學生的知識結構呈一個螺旋上升的狀態，符合學生的認知規律。
⑵重視多種教學方法有效整合，以講練結合法、分析引導法、變式訓練法等多種方法貫穿整個教學過程。
⑶重視提出問題、解決問題策略的指導。
? 余弦定理課件 ?
1.地位及作用
"余弦定理"是人教A版數學必修5主要內容之一，是解決有關斜三角形問題的兩個重要定理之一，也是初中"勾股定理"內容的直接延拓，它是三角函數一般知識和平面向量知識在三角形中的具體運用，是解可轉化為三角形計算問題的其它數學問題及生產、生活實際問題的重要工具具有廣泛的應用價值，起到承上啟下的作用。
2.教學重、難點
重點：余弦定理的證明過程和定理的簡單應用。
難點：利用向量的數量積證余弦定理的思路。
知識目標：能推導余弦定理及其推論，能運用余弦定理解已知"邊，角，邊"和"邊，邊，邊"兩類三角形。
能力目標：培養學生知識的遷移能力；歸納總結的能力；運用所學知識解決實際問題的能力。
情感目標：從實際問題出發運用數學知識解決問題這個過程體驗數學在實際生活中的運用，激發學生學習數學的興趣。通過主動探索，合作交流，感受探索的樂趣和成功的體驗，體會數學的理性和嚴謹。
數學課堂上首先要重視知識的發生過程，既能展現知識的獲取，又能暴露解決問題的思維。在本節教學中，我將遵循"提出問題、分析問題、解決問題"的步驟逐步推進，以課堂教學的組織者、引導者、合作者的身份，組織學生探究、歸納、推導，引導學生逐個突破難點，師生共同解決問題，使學生在各種數學活動中掌握各種數學基本技能，初步學會從數學角度去觀察事物和思考問題，產生學習數學的愿望和興趣。
本節教學中通過創設情境，充分調動學生已有的學習經驗，讓學生經歷"現實問題轉化為數學問題"的過程，發現新的知識，把學生的潛意識狀態的好奇心變為自覺求知的創新意識。又通過實際操作，使剛產生的數學知識得到完善，提高了學生動手動腦的能力和增強了研究探索的綜合素質。
幫助學生從平面幾何、三角函數、向量知識等方面進行分析討論，選擇簡潔的處理工具，引發學生的積極討論。你能夠有更好的具體的量化方法嗎？問題可轉化為已知三角形兩邊長和夾角求第三邊的問題，即：在中已知AC=b,AB=c和A,求a.
學生對向量知識可能遺忘，注意復習；在利用數量積時，角度可能出現錯誤，出現不同的表示形式，讓學生從錯誤中發現問題，鞏固向量知識，明確向量工具的作用。同時，讓學生明確數學中的轉化思想：化未知為已知。將實際問題轉化成數學問題，引導學生分析問題。在中已知a=5,b=7,c=8,求B.
學生思考或者討論，若有同學答則順勢引出推論，若不能作答則由老師引導推出推論，然后返回解決該問題。
讓學生觀察推論的特征，討論該推論有什么用。
? 余弦定理課件 ?
平面向量證法（覺得這個方法不是很好，平面的向量的公式a·b=|a||b|Cosθ本來還是由余弦定理得出來的，怎么又能反過來證明余弦定理）∵如圖，有a+b=c（平行四邊形定則：兩個鄰邊之間的對角線代表兩個鄰邊大小）
∴c·c=(a+b)·(a+b)
∴c2=a·a+2a·b+b·b∴c2=a2+b2+2|a||b|Cos（& pi;-θ）
（以上粗體字符表示向量）
又∵Cos（π-θ）=-Cosθ
∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ（注意：這里用到了三角函數公式）
再拆開，得c2=a2+b2-2abcosC
即cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b
同理可證其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是將cosC移到左邊表示一下。
平面幾何證法
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a
則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根據勾股定理可得：
AC2=AD2+DC2
b2=(sinBc)2+(a-cosBc)2
b2=(sinB*c)2+a2-2accosB+(cosB)2c2
b2=(sinB2+cosB2)c2-2accosB+a2
b2=c2+a2-2accosB
cosB=（c2+a2-b2）/2ac
? 余弦定理課件 ?
（2）學會利用進行計算、證明與作圖；
（3）了解有關的歷史.
2、能力目標：
（1）在定理的證明中培養學生的拼圖能力；
3、情感目標：
（1）通過自主學習的發展體驗獲取數學知識的感受；
（2）通過有關的歷史講解，對學生進行德育教育．
直角三角形的三邊關系，除了滿足一般關系外，還有另外的特殊關系嗎？
讓學生用文字語言將上述問題表述出來．
強調說明：
學習完一個重要知識點，給學生留有一定的時間和機會，提出問題，然后大家共同分析討論．
方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖1所示的正方形.
方法二:將四個全等的直角三角形拼成如圖2所示的正方形,
例1 已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝ ，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的長.
例2 如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝ ，D是BC上任一點，
則在Rt△ADE中，
即
又∵AB＝AC，∠BAC＝
即
例4 國家電力總公司為了改善農村用電電費過高的現狀，目前正在全國各地農村進行電網改造，某村六組有四個村莊A、B、C、D正好位于一個正方形的四個頂點，現計劃在四個村莊聯合架設一條線路，他們設計了四種架設方案，如圖實線部分．請你幫助計算一下，哪種架設方案最省電線．
∴EF＝1－2FH＝1－
∴此圖中總線路的長為4EA+EF＝
∴圖4的連接線路最短，即圖4的架設方案最省電線．
臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍數十千米范圍內形成氣旋風暴，有極強的破壞力，如圖，據氣象觀測，距沿海某城市A的正南方向220千米B處有一臺風中心，其中心最大風力為12級，每遠離臺風中心20千米，風力就會減弱一級，該臺風中心現正以15千米/時的速度沿北偏東 方向往C移動，且臺風中心風力不變，若城市所受風力達到或走過四級，則稱為受臺風影響
（2）若會受到臺風影響，那么臺風影響該城市持續時間有多少？
（3）該城市受到臺風影響的最大風力為幾級？
∴
由題意知，當A點距臺風（12－4）20＝160（千米）時，將會受到臺風影響．
故該城市會受到這次臺風的影響．
（2）由題意知，當A點距臺風中心不超過60千米時，
將會受到臺風的影響，則AE＝AF＝160．當臺風中心從E到F處時，
∴EF＝2DE＝
（3）當臺風中心位于D處時，A城市所受這次臺風的風力最大，其最大風力為 級．
? 余弦定理課件 ?
各位評委各位同學，大家好！我是數學（）號選手，今天我說課的題目是余弦定理，選自高中數學第一冊(下)中第五章平面向量第二部分解斜三角形的第二節。我以新課標的理念為指導，將教什么、怎樣教，為什么這樣教，分為教材與學情分析、教法與學法、教學過程、板書設計四個方面進行說明：
一、教材與學情分析
這節課與初中學習的三角形的邊和角的基本關系及判定三角形的全等有密切聯系，是高考的必考內容之一，在日常生活和工業生產中也應用很多。因此，余弦定理的知識非常重要。這堂課，我并不準備將余弦定理全盤托出呈現給學生，而是采用創設情境式教學，通過具體的情景激發學生探索新知識的欲望，引導學生一步步探究并發現余弦定理。
根據教材內容分析，考慮到學生已有的認知結構心理特征及原有知識水平，我制定如下三個教學目標：
（1）知識目標：掌握余弦定理兩種表示形式，解決兩類基本的解三角形問題。
（2）能力目標：通過三角函數、余弦定理、向量的數量積等知識間的關系，來理解事物之間的普遍聯系。
（3）情感目標：面向全體學生，創造輕松愉快的教學氛圍，在教學中體會形數美的統一，充分調動學生的主動性和積極性，給學生成功的體驗，激發學生學習數學的興趣。
我將本節課的教學重點設為掌握余弦定理，教學難點設為初步應用余弦定理解三角形問題。
二、教法與學法
1、教法選擇：根據本節課的教學目標、教材內容及學生的認知特點，我選擇創設情境教學法、探究教學法和引導發現法相結合。以學生自主探究、合作交流為主，教師啟發引導為輔。
2、教學組織形式：師生互動、生生互動。
3、學法指導：巴甫洛夫曾指出：“方法是最主要和最基本的東西”，因此學之有法，才能學之有效，學之有趣。根據本節課的特點，我在學法上指導學生：
①如何探究問題②遇到新的問題時如何轉化為熟悉的問題③做好評價與反思。
4、教學手段
根據數學課的特點，我采用的教具是：多媒體和黑板相結合。利用多媒體進行動態和直觀的演示，輔助課堂教學，為學生提供感性材料，幫助學生探索并發現余弦定理。對證明過程和知識體系板書演示，力爭與學生的思維同步。學具是：紙張、直尺、量角器。
三、教學過程
三、教學過程
為了實現本節課的教學目標，在教學中注意突出重點、突破難點，我將從
創設情境、導入課題；
引導探究、獲得性質；
應用遷移、交流反思；
拓展升華、發散思維；
小結歸納、布置作業
五個層次進行教學，具體過程如下：過程省略。
四、板書設計：
板書是課堂教學必不可少的組成部分，為了再現本節課的知識體系，滲透結構思想，突出本節課的重點，我將這樣設計板書。性質的證明和習題解答是學生完成的，讓學生寫到黑板上，發現錯誤可及時糾正；我將本節課的知識體系展示到黑板上，利于學生理清思路。
? 余弦定理課件 ?
各位老師
大家好！
今天我說課的內容是余弦定理，本節內容共分3課時，今天我將就第1課時的余弦定理的證明與簡單應用進行說課。下面我分別從教材分析。目標的確定。方法的選擇和教學過程的設計這四個方面來闡述我對這節課的教學設想。
一、教材分析
本節內容是江蘇出版社出版的普通高中課程標準實驗教科書《數學》必修五的第一章第2節，在此之前學生已經學習過了勾股定理。平面向量、正弦定理等相關知識，這為過渡到本節內容的學習起著鋪墊作用。本節內容實質是學生已經學習的勾股定理的延伸和推廣，它描述了三角形重要的邊角關系，將三角形的“邊”與“角”有機的聯系起來，實現邊角關系的互化，為解決斜三角形中的邊角求解問題提供了一個重要的工具，同時也為在日后學習中判斷三角形形狀，證明三角形有關的等式與不等式提供了重要的依據。
在本節課中教學重點是余弦定理的內容和公式的掌握，余弦定理在三角形邊角計算中的運用；教學難點是余弦定理的發現及證明；教學關鍵是余弦定理在三角形邊角計算中的運用。
二、教學目標的確定
基于以上對教材的認識，根據數學課程標準的“學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者。引導者與合作者”這一基本理念，考慮到學生已有的認知結構和心理特征，我認為本節課的教學目標有：
1、知識與技能：熟練掌握余弦定理的內容及公式，能初步應用余弦定理解決一些有關三角形邊角計算的問題；
2、過程與方法：掌握余弦定理的兩種證明方法，通過探究余弦定理的過程學會分析問題從特殊到一般的過程與方法，提高運用已有知識分析、解決問題的能力；
3、情感態度與價值觀：在探究余弦定理的過程中培養學生探索精神和創新意識，形成嚴謹的數學思維方式，培養用數學觀點解決問題的能力和意識、
三、教學方法的選擇
基于本節課是屬于新授課中的數學命題教學，根據《學記》中啟發誘導的思想和布魯納的發現學習理論，我將主要采用“啟發式教學”和“探究性教學”的教學方法即從一個實際問題出發，發現無法使用剛學習的正弦定理解決，造成學生在認知上的沖突，產生疑惑，從而激發學生的探索新知的欲望，之后進一步啟發誘導學生分析，綜合，概括從而得出原理解決問題，最終形成概念，獲得方法，培養能力。
在教學中利用計算機多媒體來輔助教學，充分發揮其快捷、生動、形象的特點。
四、教學過程的設計
為達到本節課的教學目標、突出重點、突破難點，在教材分析、確定教學目標和合理選擇教法與學法的基礎上，我把教學過程設計為以下四個階段：創設情境、引入課題；探索研究、構建新知；例題講解、鞏固練習；課堂小結，布置作業。具體過程如下：
1、創設情境，引入課題
利用多媒體引出如下問題：
A地和B地之間隔著一個水塘現選擇一地點C，可以測得的大小及，求A、B兩地之間的距離c。
【設計意圖】由于學生剛學過正弦定理，一定會采用剛學的知識解題，但由于無法找到一組已知的邊及其所對角，從而產生疑惑，激發學生探索欲望。
2、探索研究、構建新知
（1）由于初中接觸的是解直角三角形的問題，所以我將先帶領學生從特殊情況為直角三角形（）時考慮。此時使用勾股定理，得。
（2）從直角三角形這一特殊情況出發，引導學生在一般三角形中構造直角即作邊的高，從而在構造的直角三角形中利用勾股定理列出邊之間的等式關系、
（3）考慮到我們所作的圖為銳角三角形，討論上述結論能否推廣到在為鈍角三角形（）中。
通過解決問題可以得到在任意三角形中都有，之后讓同學們類比出……這樣我就完成了對余弦定理的引入，之后總結給出余弦定理的內容及公式表示。
【設計意圖】通過創設情景、引導學生探究出余弦定理這一數學體驗，既可以培養學生分析問題的能力，也可以加深學生對余弦定理的認識、
在學生已學習了向量的基礎上，考慮到新課改中要求使用新工具、新方法，我會引導同學類比向量法證明正弦定理的過程嘗試使用向量的方法證明余弦定理、之后引導學生對余弦定理公式進行變形，用三邊值來表示角的余弦值，給出余弦定理的第二種表示形式，這樣就完成了新知的構建。
根據余弦定理的兩種形式，我們可以利用余弦定理解決以下兩類解斜三角形的問題：
（1）已知三邊，求三個角；
（2）已知三角形兩邊及其夾角，求第三邊和其他兩個角。
3、例題講解、鞏固練習
本階段的教學主要是通過對例題和練習的思考交流、分析講解以及反思小結，使學生初步掌握使用余弦定理解決問題的方法。其中例題先以學生自己思考解題為主，教師點評后再規范解題步驟及板書，課堂練習請同學們自主完成，并請同學上黑板板書，從而鞏固余弦定理的運用。
例題講解：
例1在中，
（1）已知，求；
（2）已知，求。
【設計意圖】例題1分別是通過已知三角形兩邊及其夾角求第三邊，已知三角形三邊求其夾角，這樣余弦定理的兩個形式分別得到了運用，進而鞏固了學生對余弦定理的運用。
例2對于例題1（2），求的大小。
【設計意圖】已經求出了的度數，學生可能會有兩種解法：運用正弦定理或運用余弦定理，比較正弦定理和余弦定理，發現使用余弦定理求解角的問題可以避免解的取舍問題。
例3使用余弦定理證明：在中，當為銳角時；當為鈍角時，
【設計意圖】例3通過對和的比較，體現了“余弦定理是勾股定理的'推廣”這一思想，進一步加深了對余弦定理的認識和理解。
課堂練習：
練習1在中，
（1）已知，求；
（2）已知，求。
【設計意圖】檢驗學生是否掌握余弦定理的兩個形式，鞏固學生對余弦定理的運用。
練習2若三條線段長分別為5，6，7，則用這三條線段（）。
A、能組成直角三角形
B、能組成銳角三角形
C、能組成鈍角三角形
D、不能組成三角形
【設計意圖】與例題3相呼應。
練習3在中，已知，試求的大小。
【設計意圖】要求靈活使用公式，對公式進行變形。
4、課堂小結，布置作業
先請同學對本節課所學內容進行小結，教師再對以下三個方面進行總結：
（1）余弦定理的內容和公式；
（2）余弦定理實質上是勾股定理的推廣；
（3）余弦定理的可以解決的兩類解斜三角形的問題。
通過師生的共同小結，發揮學生的主體作用，有利于學生鞏固所學知識，也能培養學生的歸納和概括能力。
布置作業
必做題：習題1、2、1、2、3、5、6；
選做題：習題1、2、12、13。
【設計意圖】
作業分為必做題和選做題、針對學生素質的差異進行分層訓練，既使學生掌握基礎知識，又使學有余力的學生有所提高。
各位老師，以上所說只是我預設的一種方案，但課堂是千變萬化的，會隨著學生和教師的臨時發揮而隨機生成。預設效果如何，最終還有待于課堂教學實踐的檢驗。
本說課一定存在諸多不足，懇請老師提出寶貴意見，謝謝。
? 余弦定理課件 ?
勾股定理，是一個基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方、中國古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一長直角邊為股，斜邊為弦，所以稱這個定理為勾股定理，也有人稱商高定理、
勾股定理現約有500種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一、勾股定理是人類早期發現并證明的重要數學定理之一，用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一、
在中國，周朝時期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例、在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，他們用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和、
? 余弦定理課件 ?
對于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它
們夾角的余弦的兩倍積，若三邊為a,b,c 三角為A,B,C，則滿足性質——a^2 = b^2 + c^22·a·c·cosB
c^2 = a^2 + b^2c^2)/(2·a·b)
cosB =(a^2 + c^2a^2)/(2·b·c)
（物理力學方面的平行四邊形定則中也會用到）
第一余弦定理（任意三角形射影定理）
設△ABC的三邊是a、b、c，它們所對的角分別是A、B、C，則有a＝b·cos C＋c·cos B，b＝c·cos A＋a·cos C，c＝a·cos B＋b·cos A。
編輯本段余弦定理證明
兩角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
倍角公式
tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2-1=1-2(sina)^2
sin2A=2sinA*cosA
三倍角公式
sin3a=3sina-4(sina)^3
cos3a=4(cosa)^3-3cosa
tan3a=tana*tan(π/3+a)*tan(π/3-a)
半角公式
sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)
和差化積
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B))
2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)
-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2
cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB
積化和差公式
sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]
cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]
sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]
誘導公式
sin(-a)=-sin(a)
cos(-a)=cos(a)
sin(pi/2-a)=cos(a)
cos(pi/2-a)=sin(a)
sin(pi/2+a)=cos(a)
cos(pi/2+a)=-sin(a)
sin(pi-a)=sin(a)
cos(pi-a)=-cos(a)
sin(pi+a)=-sin(a)
cos(pi+a)=-cos(a)
tgA=tanA=sinA/cosA
萬能公式
sin(a)=(2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))
cos(a)=(1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))
tan(a)=(2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))
其它公式
a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c)[其中，tan(c)=b/a]a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c)[其中，tan(c)=a/b]1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2
1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2
? 余弦定理課件 ?
教學設計
一、內容及其解析
1.內容: 余弦定理
2.解析: 余弦定理是繼正弦定理教學之后又一關于三角形的邊角關系準確量化的一個重要定理。在初中，學生已經學習了相關邊角關系的定性的結果，就是“在任意三角形中大邊對大角，小邊對小角”，“如果已知兩個三角形的兩條對應邊及其所夾的角相等，則這兩個三角形全等”。同時學生在初中階段能解決直角三角形中一些邊角之間的定量關系。在高中階段，學生在已有知識的基礎上，通過對任意三角形邊角關系的探究，發現并掌握任意三角形中邊角之間的定量關系，從而進一步運用它們解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題，使學生能更深地體會數學來源于生活，數學服務于生活。
二、目標及其解析
目標：
1、使學生掌握余弦定理及推論，并會初步運用余弦定理及推論解三角形。
2、通過對三角形邊角關系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。解析：
1、在發現和證明余弦定理中，通過聯想、類比、轉化等思想方法比較證明余弦定理的不同 方法，從而培養學生的發散思維。
2、能用余弦定理解決生活中的實際問題，可以培養學生學習數學的興趣，使學生進一步認識到數學是有用的。
三、教學問題診斷分析
1、通過前一節正弦定理的學習，學生已能解決這樣兩類解三角形的問題：
①已知三角形的任意兩個角與邊，求其他兩邊和另一角；②已知三角形的任意兩個角與其中一邊的對角，計算另一邊的對角，進而計算出其他的邊和角。
而在已知三角形兩邊和它們的夾角，計算出另一邊和另兩個角的問題上，學生產生了認知沖突，這就迫切需要他們掌握三角形邊角關系的另一種定量關系。所以，教學的重點應放在余弦定理的發現和證明上。
2、在以往的教學中存在學生認知比較單一，對余弦定理的證明方法思考也比較單一，而
本節的教學難點就在于余弦定理的證明。如何啟發、引導學生經過聯想、類比、轉化多角度地對余弦定理進行證明，從而突破這一難點。
3、學習了正弦定理和余弦定理，學生在解三角形中，如何適當地選擇定理以達到更有效地解題，也是本節內容應該關注的問題，特別是求某一個角有時既可以用余弦定理，也可以用正弦定理時，教學中應注意讓學生能理解兩種方法的利弊之處，從而更有效地解題。
四、教學支持條件分析
為了將學生從繁瑣的計算中解脫出來，將精力放在對定理的證明和運用上，所以本節中復雜的計算借助計算器來完成。當使用計算器時，約定當計算器所得的三角函數值是準確數時用等號，當取其近似值時，相應的運算采用約等號。但一般的代數運算結果按通常的運算規則，是近似值時用約等號。
五、教學過程
（一）教學基本流程
教學過程：
一、創設情境，引入課題
問題1：在△ABC中，∠C = 90°，則用勾股定理就可以得到c2=a2+b
2。【設計意圖】：引導學生從最簡單入手，從而通過添加輔助線構造直角三角形。師生活動：引導學生從特殊入手，用已有的初中所學的平面幾何的有關知識來研究這一問題，從而尋找出這些量之間存在的某種定量關系。
學生1：在△ABC中，如圖4，過C作CD⊥AB，垂足為D。在Rt△ACD中，AD=bsin∠1,CD= bcos∠1;在Rt△BCD中，BD=asin∠2, CD=acos∠2;c=(AD+BD)=b-CD+a-CD+2AD?BD
= a?b?2abcos?1?cos?2?2absin?1?sin?2=a?b?2abcos(?1??2)?a?b?2abcosC
A
D圖
4學生2：如圖5，過A作AD⊥BC，垂足為D。
A
圖
5則：c?AD?BD
2?b?CD?(a?CD)?a?b?2a?CD?a?b?2abcosC
學生3：如圖5，AD = bsinC，CD = bcosC，∴c2 =（bsinC）2+（a-bcosC）2 = a2 +b2-2abcosC
類似地可以證明b= a+c-2accosB，c= a+b-2abcosC。
【設計意圖】：首先肯定學生成果，進一步的追問以上思路是否完整，可以使學生的思維更加嚴密。
師生活動：得出了余弦定理，教師還應引導學生聯想、類比、轉化，思考是否還有其他方法證明余弦定理。
教師：在前面學習正弦定理的證明過程種，我們用向量法比較簡便地證明了正弦定理，那么在余弦定理的證明中，你會有什么想法？
【設計意圖】：通過類比、聯想，讓學生的思維水平得到進一步鍛煉和提高，體驗到成功的樂趣。
學生4：如圖6，????????????記AB?c,CB?a,CA?b????????????則c?AB?CB?CA?a?b???2
2?（c）?（a?b）
?2?2??
?a?b?2a?b?2?2?2??
即c?a?b?2a?b?cosC?c?a?b?2abcosC
A
圖6
【設計意圖】：由向量又聯想到坐標，引導學生從直角坐標中用解析法證明定理。
學生7：如圖7，建立直角坐標系，在△ABC中，AC = b，BC = a.且A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0），則 c?AB
?(acosC?b)?(asinC)
?a?b?2abcosC
【設計意圖】：通過以上平面幾何知識、向量法、解析法引導學生體會證明余弦定理，更好地讓學生主動投入到整個數學學習的過程中，培養學生發散思維能力，拓展學生思維空
間的深度和廣度。
二、探究定理 余弦定理：
a
2222222
2?b?c?2bccosA,b?a?c?2accosB,c?a?b?2abcosC
余弦定理推論： cosA?
b?c?a
2bc，cosB?
a?c?b
2ac
222，cosC?
a?b?c
2ab
222
解決類型：（1）已知三角形的三邊，可求出三角；
（2）已知三角形的任意兩邊與兩邊的夾角，可求出另外一邊和兩角。
三、例題
例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求邊c。
②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。
【設計意圖】：讓學生理解余弦定理及推論解決兩類最基本問題，既①已知三角形兩邊及夾角，求第三邊；②已知三角形三邊，求三內角。
四、目標檢測
1、若三角形的三邊為2，4，23，那么這個三角形的形狀為（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形 2．已知三角形的三邊為3、4、6，那么此三角形有（）
A．三個銳角 B．兩個銳角，一個直角 C．兩個銳角，一個鈍角 D．以上都不對 3．在△ABC中，若其三邊的比是a∶b∶c = 3∶5∶7，則三個內角正弦值的比是______．
4．在△ABC中，已知a = 4，b = 6，C = 120°，求sinA．
五、小結
本節課的主要內容是余弦定理的證明，從平面幾何、向量、坐標等各個不同的方面進行探究，得出的余弦定理無論在什么形狀的三角形中都成立，勾股定理也只不過是它的特例。所以它很“完美”，從式子上又可以看出其具“簡捷、和諧、對稱”的美，其變式即推論也很協調。
【設計意圖】：在學生探究數學美，欣賞美的過程中，體會數學造化之神奇，學生可以
興趣盎然地掌握公式特征、結構及其他變式。
學案
1．2 余弦定理
班級學號
一、學習目標
1、使學生掌握余弦定理及推論，并會初步運用余弦定理及推論解三角形。
2、通過對三角形邊角關系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。
二、例題與問題
例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求邊c。
②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。
三、目標檢測
1、若三角形的三邊為2，4，23，那么這個三角形的形狀為（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形 2．已知三角形的三邊為3、4、6，那么此三角形有（）
A．三個銳角 B．兩個銳角，一個直角 C．兩個銳角，一個鈍角 D．以上都不對 3．在△ABC中，若其三邊的比是a∶b∶c = 3∶5∶7，則三個內角正弦值的比是______．
4．在△ABC中，已知a = 4，b = 6，C = 120°，求sinA．
配餐作業
一、基礎題(A組)
1.在△ABC中，若acosA?bcosB，則△ABC的形狀是（）A.等腰三角形C.等腰直角三角形
B.直角三角形D.等腰或直角三角形
2.△ABC中，sinA:sinB:sinC?3:2:4，那么cosC?（）
A.4B.3C.?
D.?
3.在△ABC中，已知a?2，b?3，C=120°，則sinA的值為（）
2157
A.38B.7 C.19 D.3
4.在△ABC中，B=135°，C=15°，a?5，則此三角形的最大邊長為。5.△ABC中，如果a?6，b?63，A=30°，邊c?。
二、鞏固題(B組)
6.在△ABC中，化簡bcosC?ccosB?（）
b?c
a?c
a?b
A.a
B.C.D.7.已知三角形的三邊長分別為a、b、a?ab?b，則三角形的最大內角是（）A.135°
B.120°
C.60°
D.90°
8.三角形的兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程5x?7x?6?0的根，則另一邊長為（）
A.52B.16
C.4D.2
9.（06年北京卷，理12）在△ABC中，若sinA:sinB:sinC?5:7:8，則∠B的大小是。
三、提高題(C組
tanB
?2a?cc
10.在△ABC中，a,b,c分別是角A、B、C的對邊，且tanCa?b?c?，2ab，（1）求C；（2）求A。
cosB
b2a?c
11.在△ABC中，a,b,c分別是A、B、C的對邊，且cosC（1）求角B的大小；（2）若b?
??，a?c?4，求a的值；
? 余弦定理課件 ?
這節課是人教版九年義務教育課程標準實驗教材八年級第十八章勾股定理第一課時，是在前面學習了直角三角形一些性質的基礎上學習的。它是幾何的重要定理之一，它揭示了直角三角形三邊的數量關系，它將形與數密切聯系起來，在數學的發展中起著非常重要的作用，在現實世界中也有著廣泛的應用。學生通過對勾股定理的學習，對直角三角形有進一步的認識和理解，為今后學習解直角三角形打下基礎。
能說出勾股定理的內容,并能進行簡單的計算和實際應用.
經歷探索—猜想—歸納—驗證的數學發現過程,發展合情推理的能力,體會數形結合和由特殊到一般的數學思想.
1、使學生了解勾股定理的歷史，感受數學文化，激發學生的學習熱情和民族自豪感；
2、在探索勾股定理的過程中，培養學生的合作交流意識和探索精神，增進數學學習的信心，感受數學之美，探究之趣。
1、探索和證明勾股定理；2、運用勾股定理進行簡單的計算。
①自制學習卡；
②自制教學工具：四個全等的直角三角板（兩直角邊分別為 ，斜邊為 ）、一塊模板（將一塊矩形板材中間挖出一個邊長為 的正方形，再將其背面襯一塊底板）。
問題1：在七年級我們學習了三角形的有關知識，如果已知一個三角形的兩條邊長分別為3和4，第三邊的長度確定嗎？
問題2：如果這兩邊的夾角為90°，第三邊的長度確定嗎？如何求第三邊的長度呢？
問題呈現后給學生適當思考時間，然后揭示課題：這一節課我們一起來研究直角三角形這一類特殊三角形中三邊的數量關系——勾股定理。
設計意圖：從數學問題出發，激活原有知識（三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊），將學生的原有認知作為新知的生長點，自然地引出本節課要探究的問題。
活動1（學習卡）：（1）請你用三角板畫出一個直角三角形（為減小誤差，把直角邊取為整數）
你發現這些數據之間有什么關系嗎？
（4）你能猜想直角三角形的三邊的平方在數量上有什么關系嗎？
設計意圖：①此活動采取小組合作的方式，互相交流，共同分享，培養學生的分工和合作交流的意識；②通過讓學生動手操作，自主探究直角三角形三邊的數量關系，激發學生的學習熱情，增進數學學習的信心，同時發展合情推理的能力,體會由特殊到一般的數學思想.
活動2：（1）你能用所給的四個全等的直角三角形在正方形模板中拼出兩個空白的正方形嗎？
（2）你能用所給的四個全等的直角三角形在正方形模板中拼出一個空白的大正方形嗎？
問題3：以上拼出的兩個圖形的空白部分面積分別是多少？它們相等嗎？
由此我們可以得到一個什么關系式？
設計說明：①通過拼圖活動，以動手操作代替枯燥、單一的講解，把學習的主動權交給學生。在活動中，讓學生體會到成功的喜悅，進一步激發學生的學習熱情，使學生對定理的理解更加深刻，體會數學中的數形結合思想；②此活動過程是在畢達哥拉斯的'證法的基礎上加以改造，使拼圖方法和定理的演繹推理過程得以簡化，有效地突破了定理的證明這一難點。
1、介紹定理命名的含義：在中國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”。
2、在西方一般認為這個定理是由古希臘數學家畢達哥拉斯發現的，所以人們稱這個定理為“畢達哥拉斯”定理。而實際上據我國著名《周髀算經》記載：約公元1千多年前，我國就已經發現了勾股定理。這比畢達哥拉斯的發現要早了幾百年。
3、世界上許多數學家，先后用400多種方法證明了這一定理。同學們在課后可以通過查閱資料或上網了解勾股定理的其它證法。
設計意圖：通過介紹勾股定理的歷史背景，感受數學文化，增加學生的數學史知識，從而體會到祖國數學歷史的悠久，對學生進行愛國主義教育，增強民族自豪感。
【例題講解】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，
設計意圖：給出范例，讓學生了解用勾股定理進行計算的過程性要求，規范解題步驟，培養學生有條理地表達的能力。
設計意圖：采用合作探究的教學方式組織教學。在這個探究過程中，要求學生在獨立思考的基礎上進行合作交流，然后小組匯報，讓學生經歷和體驗如何將生活實際問題抽象成數學問題進而得以解決，激發學生應用數學的意識和能力。
7、在我國古代數學著作《九章算術》中記載了一道有趣的問題，這個問題的意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面，請問這個水池的深度和這根蘆葦的長度各是多少？
設計意圖：①進一步熟悉和掌握勾股定理，培養學生從實際問題中抽象出幾何模型的能力；②學會建立方程解決幾何問題，體會數形結合思想的運用，拓展學生綜合運用知識的能力，激發學生的學習潛能。
通過本節課的學習你有哪些收獲？
設計意圖：通過小結為學生創設交流、反思的空間，調動學生的積極性，既引導學生從面積的角度理解勾股定理，又從能力、情感、態度等方面關注學生對課堂整體感受，在輕松愉快的氣氛中體會收獲的喜悅。
1、鞏固型作業（略）；
2、通過翻閱資料或上網查找有關證明勾股定理的方法，選擇你喜歡的兩種方法整理并打印出來（兩天內在組內交互，一周內小組交互，選擇不同的證明方法在班級展出）。
設計意圖：這個作業活動是開放的，它不僅為每個學生搭建了進一步探索和思考數學活動的平臺，而且給了他們施展自我才能的舞臺，有助于學生綜合素質的全面發展。
? 余弦定理課件 ?
教材分析：
這節課是九年制義務教育課程標準實驗教科書（蘇科版），八年級上冊第三
章第一節“勾股定理”的第一課時、勾股定理是學生在已經掌握了直角三角形的有關性質的基礎上進行學習的，它是直角三角形的重要性質，它把三角形有一個直角“形”的特點轉化為三邊之間的“數”的關系，它是數形結合的典范，它可以解決許多直角三角形中的計算問題、學生通過對勾股定理的學習，可以在原有的基礎上對直角三角形有進一步的認識和理解、
教學目標：
1、讓學生經歷從數到形再由形到數的轉化過程，從探求三個正方形面積間的關系轉化為三邊數量關系的過程、培養學生主動探究意識，發展合理推理能力，體會數形結合思想、
2、能說出勾股定理，并能用勾股定理解決簡單問題、
3、在經歷數學知識的形成與應用過程中培養學生學習數學的興趣；感受勾股定理的文化價值、
教學重點：
探索勾股定理的過程，會利用兩邊長求直角三角形的另一邊長、
教學難點：
用割、補法求面積探索勾股定理、
教學方法與教學手段：
采用探究發現式教學，提供適當的問題情境、給學生自主探究交流的空間，引導學生有方向地探索、
1、同學們，我們已經學過三角形的一些基本知識，如果一個三角形的兩條邊分別長6和8，你能確定第三邊的長嗎？你能確定第三邊的長的范圍嗎？
2、如果這兩邊所夾的角確定了，那么第三邊的長確定嗎？第三邊的長是多少？
3、直角三角形兩邊長確定了，第三邊的長確定嗎？如何求第三邊的長呢？這節課就讓我們一起來探討這個問題、板書：直角三角形三邊數量關系、
（這是對三角形三邊的不等關系和三角形全等的判定的回顧，從學生的原有認知出發，揭示這節課產生的根源，符合學生的認知心理，也自然地引出本節課的目標、當一般性的問題不好解決時，可以先將一般問題轉化為特殊問題來研究）
1、（幾何畫板出示），觀察圖形，我們以直角三角形ABC三邊為邊向形外作三個正方形、若將圖形①②③④⑤剪下，用它們可以拼一個與正方形ABDE大小一樣的正方形嗎？
（同桌同學合作拼圖）通過拼圖，你有什么發現？
（以BC為邊的正方形面積與以AC為邊的正方形面積的和等于以AB為邊的正方形面積）
（拼圖活動，引發了學生的猜想，增加了研究的趣味性，鍛煉了學生的空間思維能力和動手能力，體現了活動——數學）
2、拼圖活動引發我們的靈感，運算推演證實我們的猜想、為了計算面積方便，我們可將這幅圖形放在方格紙中、如果每一個小方格的邊長記作“1”，請你求出此時三個正方形的面積（SP＝9，SQ＝16）
如何求SR？（SR的求法是這節課的難點，這時可讓學生先在學案上獨立分析，再通過小組交流，最后由小組代表到臺前展示）
（旋轉這種方法只適用于斜邊為整數的情況，沒有一般性，而且此時斜邊的長還不能求出來.若有學生提出，應提醒學生）
肯定學生的研究成果，進而讓學生打開書回顧課本上的提示、從小明、小麗的方法中你能得到什么啟發？
（把圖形進行“割”和“補“，即把不能利用網格線直接計算面積的圖形轉化成可以利用網格線直接計算面積的圖形、這種思想方法，稱為化歸思想）
3、變化直角三角形，仿照以上方法計算直角邊為5和3的直角三角形中以斜邊為邊的正方形面積
（這是“割”和“補”思想的再一次應用、讓學生感受所學即所用，體驗成功的樂趣）
4、通過計算，你發現這三個正方形面積間有什么關系嗎？
5、利用方格紙，我們方便計算直角邊為整數的情況，若直角邊為小數時，所得到的正方形面積間也有如上關系嗎？
（利用幾何畫板的高效性、動態性反映這一過程，讓學生體會到更多一般的情形，從而為歸納提供基礎，這樣歸納的結論更具有一般性，學生的印象也更深刻）
6、我們這節課是探索直角三角形三邊數量關系、至此，你對直角三角形三邊的數量關系有什么發現？
（面積是邊長的平方，面積間的等量關系轉化為邊長間的等量關系，即直角三角形三邊的等量關系：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方）
（這一問題的結論是本節課的點睛之筆，應充分讓學生總結、交流、表達）
7、用彎曲的手臂形象地表示勾、股、弦的概念，再給出勾股定理，進而給出字母表達式、一段緊張的探索過程之后，播放一段有關勾股歷史的錄音
（這樣既活躍了課堂氣氛，又展現了勾股歷史，激發學生熱愛祖國悠久歷史文化，激勵學生發奮學習的情感）
（1）求下列直角三角形中未知邊的長：
（2）求下列圖中未知數x、y、z的值：
在學生回答的基礎上，老師規范板書一題、
（在對勾股定理基本應用的基礎上，讓學生體會知道直角三角形三邊中的任意兩邊，可以求第三邊）
學生可以談本節課的收獲，也可以提出本節課的疑問、教師引導學生思考特殊的三角形直角三角形三邊有特殊的等量關系，一般三角形三邊是否也存在一種等量關系呢？這是我們今后將要探討的內容、
（學生總結本堂課的收獲，從內容、應用，到數學思想方法，獲取知識的途徑等方面，給學生自由的空間，鼓勵學生多說、這樣引導學生從多角度對本節課歸納總結，感悟點滴，使學生將知識系統化，提高學生素質，鍛煉學生的綜合及表達能力、最后提及的問題與引入首尾呼應，激發了學生深入研究的興趣）
? 余弦定理課件 ?
這節課是九年制義務教育課程標準實驗教科書(華東版)，八年級第十九章第二節“勾股定理”第一課時。勾股定理是學生在已經掌握了直角三角形有關性質的基礎上進行學習的，它是直角三角形的一條非常重要的性質，是幾何中最重要的定理之一，它揭示了一個三角形三條邊之間的數量關系，它可以解決直角三角形的主要依據之一，在實際生活中用途很大。教材在編寫時注意培養學生的動手操作能力和觀察分析問題的能力;通過實際分析，拼圖等活動，使學生獲得較為直觀的印象;通過聯系比較，理解勾股定理，以便于正確的進行運用。
⒈理解并掌握勾股定理的內容和證明，能夠靈活運用勾股定理及其計算;
⒉通過觀察分析，大膽猜想，并探索勾股定理，培養學生動手操作、合作交流、邏輯推理的能力。
在探索勾股定理的過程中，讓學生經歷“觀察-猜想-歸納-驗證”的數學思想，并體會數形結合和從特殊到一般的思想方法。
3.【情感態度與價值觀】通過介紹中國古代勾股方面的成就，激發學生熱愛祖國和熱愛祖國悠久文化的思想感情，培養學生的民族自豪感和鉆研精神。
(三)教學重點、難點：
【難點成因】對于勾股定理的得出，首先需要學生通過動手操作，在觀察的基礎上，大膽猜想數學結論，而這需要學生具備一定的分析、歸納的思維方法和運用數學的思想意識，但學生在這一方面的可預見性和耐挫折能力并不是很成熟，從而形成困難。
【突破措施】：
⒈創設情景，激發思維：創設生動、啟發性的問題情景，激發學生的問題沖突，讓學生在感到“有趣”、“有意思”的狀態下進入學習過程;
⒉自主探索，敢于猜想：充分讓自己動手操作，大膽猜想數學問題的結論，老師是整個活動的組織者，更是一位參入者，學生之間相互交流、協作，從而形成生動的課堂環境;
⒊張揚個性，展示風采：實行“小組合作制”，各小組中自己推薦一人擔任“發言人”，一人擔任“書記員”，在討論結束后，由小組的“發言人”匯報本小組的討論結果，并可上臺利用“多媒體視頻展示臺”展示本組的優秀作品，其他小組給予評價，
這樣既保證討論的有效性，也調動了學生的學習積極性。
【教法分析】數學是一門培養人的思維，發展人的思維的重要學科，因此在教學中，不僅要使學生“知其然”，而且還要使學生“知其所以然”。針對初二年級學生的認知結構和心理特征，本節課可選擇“引導探索法”，由淺到深，由特殊到一般的提出問題。引導學生自主探索，合作交流，這種教學理念緊隨新課改理念，也反映了時代精神。基本的教學程序是“創設情景-動手操作-歸納驗證-問題解決-課堂小結-布置作業”六個方面。
【學法分析】新課標明確提出要培養“可持續發展的學生”，因此教師要有組織、有目的、有針對性的.引導學生并參入到學習活動中，鼓勵學生采用自主探索，合作交流的研討式學習方式，培養學生“動手”、“動腦”、“動口”的習慣與能力，使學生真正成為學習的主人。
多媒體課件演示FLASH小動畫片：某樓房三樓失火，消防隊員趕來救火，了解到每層樓高3米，消防隊員取來6.5米長的云梯，如果梯子的底部離墻基的距離是2.5米，請問消防隊員能否進入三樓滅火?
問題的設計有一定的挑戰性，目的是激發學生的探究欲望，老師要注意引導學生將實際問題轉化為數學問題，也就是“已知一直角三角形的兩邊，求第三邊?”的問題。學生會感到一些困難，從而老師指出學習了今天的這節課后，同學們就會有辦法解決了。這種以實際問題作為切入點導入新課，不僅自然，而且也反映了“數學來源于生活”，學習數學是為更好“服務于生活”。
⒈課件出示課本P99圖19.2.1：
觀察圖中用陰影畫出的三個正方形，你從中能夠得出什么結論?
學生可能考慮到各種不同的思考方法，老師要給予肯定,并鼓勵學生用語言進行描述，引導學生發現SP+SQ=SR(此時讓小組“發言人”發言)，從而讓學生通過正方形的面積之間的關系發現：對于等腰直角三角形，其兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即當∠C=90°，AC=BC時，則 AC2+BC2=AB2。這樣做有利于學生參與探索，感受數學學習的過程，也有利于培養學生的語言表達能力，體會數形結合的思想。
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