數學二次根式教案（合集十九篇）

數學二次根式教案（合集十九篇）。

〖一〗數學二次根式教案

我今天的說課內容是：二次根式的乘法。下面，我將從教材分析、教學方法、教學過程、板書設計、教學評估這五個方面來對本節課進行說明。

一、教材分析

教材分析的第一部分是教材的地位及作用。

《二次根式的乘法》是人教版初中數學，九年級上冊第一章的內容。《二次根式的乘法》是初中數學的重要內容之一，是《課程標準》“數與代數”的重要內容，是對七年級上冊“實數”、“代數式”等內容的延伸和補充。

其次是關于學情分析。本節可的內容是在理解二次根式的定義及相關概念的基礎上，進一步研究二次根式的運算，是對二次根式的簡便運算。二次根式的乘法這一節的知識構造較為簡單，并且，是在學生學習了平方根，立方根等內容的基礎上進行的，因此，學生對算術平方根等概念已經有了初步認識，這位學生學習打下了基礎，在和學生一起學習的過程中，我們要創造條件和機會，讓學生發表自己的見解，發揮學生學習的主動性和積極性。

根據教學大綱和新課標的要求，結合教材和學生特點，我確定了以下三方面的教學目標：

知識技能目標

能力目標

情感態度于價值觀目標

具體的說：知識技能目標包括三方面：

一是使學生能夠利用積的算術平方根的性質進行二次根式的簡便運算

二是讓學生能進行簡單的二次根式的乘法運算

三是希望學生能聯系幾何知識解決實際問題

能力目標即將二次根式進一步展開，解決實際問題，情感態度與價值觀即培養學生對于事物規律的觀察，發現能力，激發學生的學生學習激情。

本節課的教學重點是利用積的算術平方根的性質，進行二次根式的計算和化簡，積的算術平方根的性質是本節課的中心內容，也是二次根式化簡和混合運算的基礎。二次根式與積的算術平方根的關系及應用是本節課的難點。我們要讓學生認識到積的算術平方根性質與根式的乘法公式是互為逆運算的關系，綜合應用性質和乘法公式時要注意原題中的要求一定要滿足。

二、教學方法

由于性質、法則和關系式較集中，在二次根式的計算、化簡和應用中又相互交錯，綜合運用，因此，要使學生在認識過程中脈絡清楚，條理分明，在教學時就一定要注意逐步有序的展開，在講解二次根式的乘法時可以結合積的算術平方根的性質，讓學生把握兩者的關系。

積的算術平方根的性質及比較大小等內容都可以通過從特殊到一般的歸納方法，讓學生通過計算具體的例子，引導他們做出一般的結論。由于歸納法是通過一些個別的，特殊的例子的研究，從表象到本質，進而猜想出一般的結論。因此，我采用了從特殊到一般總結歸納的方法，類比方法，講授與練習相結合的`方法，這種思維過程，對于初中生認識，研究和發現事物的規律有著重要作用，對于培養思維品質也有重要意義。

三、教學過程設計

教學過程設計師講好一堂課最重要的環節。新課標指出，數學教學過程是教學引導學生學習的過程，是教師和學生互動的過程，是師生共同發展的過程，為有序地，有效地進行教學，我將教學過程做如下安排：

1、溫故知新，探求新知

引入的環節我安排的時間是3分鐘。課堂教學首先通過兩組簡單的式子引入學習內容，并對先前的知識點進行回顧，我主張學生自己動手計算，肯定他們的想法，引入正題。這個環節的設計既能引導學生順利進入學習情境，也能激發學生對新知識的學習興趣和求職欲望，這個環節必須要有計劃性地為學生鋪墊新知建構。

2、討論歸納，導入新課

這部分我那排的時間是2分鐘。這里我必須要從引入時的描述性語言過渡到嚴謹的數學語言。通過嚴格的證明和推導，得出本節課的重點及難點。這一環節體現了以學生為主題，師生互相合作的教學新理念。

3、強化訓練，鞏固提高

針對本節課的重點難點，我給學生先后呈現了兩個例題。我們在講解例題時，不僅在于怎樣解答，更在于為什么這樣解答。及時對解題方法和規律進行概括，有利于發展學生的思維能力。重視課本例題，適當地堆立體進行引申，引發學生自主探尋與思考，突出例題在鞏固強化中的作用，有利于學生對知識的串聯，積累，加工，從而起到舉一反三的效果。

4、歸納小結，作業布置

小結的重要性不容忽視，知識性的小結，能使學生盡快吸收課堂中傳授的知識，這不僅僅是知識的簡單羅列，也是優化知識結構，完善知識體系的有效手段。

作業的布置我主要從鞏固性和發展性考慮。總的設計意圖是反饋教學，鞏固提高，針對學生的素質差異進行不同的任務分配。既能使學生掌握知識，又能使學有余力的同學得到提高。

四、板書設計

我的板書設計師如下，我將板書設計分成四塊，有助于學生更直觀，清晰地了解知識點。

五、教學評價

教學評價本身也是一種教學活動，在這個活動中，學生的知識，技能等都有很大進展，評價發出的信息可以使師生了解教與學的情況，教師和學生可以根據反饋信息修訂計劃，調整教學行為，從而使有效的工作達到所規定的目標，這就是評價所發揮的調節作用。本節課的教學評價，主要是重視學生的親身體驗重視以及課堂問題設計。

〖二〗數學二次根式教案

作用與地位

作為二次根式乘、除法與加減法的過渡橋梁的“最簡二次根式”這一節課在本章中起著承上啟下的作用，必須先復習與鞏固已學過的乘、除法知識。另一方面，本小節的內容，顯然是下一小節“二次根式的加減法”的基礎，因為加減法就是在識別“同類的”最簡二次根式的前提下進行的。

目的與要求

本課的內容比較單純，就是要求學生掌握化簡一個二次根式成最簡二次根式的'方法。當然，這首先需要知道什么是最簡二次根式（即本節課的重點），讓學生了解最簡二次根式的概念，不在于能否背出定義，關鍵還是遇到實際式子能夠加以判斷（也就是本節課的難點），所以應在練習中讓學生熟悉這個概念。我采用啟發式教學并借助實物投影以擴充教學容量。

背景

在實際問題中，遇到二次根式，一般應把它先化簡，這會給解決問題帶來方便，把二次根式化簡，至少有以下三種用途：

（1）、把一個二次根式化簡后，可避免因誤差積累而造成的結果不準確。

（2）、把兩個二次根式化簡后，它們的乘除法運算可能變得簡單，例如:

；15 ÷2===。

（3）、把一組二次根式化簡成最簡二次根式后，可以對同類二次根式進行加法、減法運算(這將在下一小節中學習)．

學生們在前面已經看到了這些用途，實際上，看到這些用途是第二位的，最重要的是從這些用途中領會把復雜化為簡單，把未知化為已知，從而使問題得以解決的思想方法。

教學過程分成以下幾個步驟

一、提出問題：（投影顯示）

兩個問題首先是對二次根式乘、除法的復習；其次通過兩種解法對

比得出將繁雜的二次根式化為簡單的二次根式后，使解決問題更加容易。

二、問題解決：

依照學生的認知規律引導學生從從簡單的問題中發現規律，突出本

節課的重點。并由此引出新課“最簡二次根式”，達到本課的第一個教學目的（理解最簡二次根式的定義）。對于最簡二次根式的定義以開門見山的方式直接給出。

三、解決問題：

接著通過訓練將最簡二次根式的定義加以熟練并總結出化簡最簡二

次根式的步驟，從而達到本課的第二個教學目的（會將不是最簡二次根式的根式化成最簡二次根式）。

在訓練內容的選擇上考慮到學生接受新知識的能力一是以常用運算

為主，采用由淺入深，層層遞進的方式，二是以基本技能為主，而不追求繁難式子化簡的特殊技巧。在進行最簡二次根式的化簡時，始終圍繞二次根式的概念和性質，抓住學生問題的癥結培養學生獨立學習，思考解決問題的能力。

四、總結問題：

采用學生小結教師補充的方式來概括本節課的知識。

〖三〗數學二次根式教案

一、說教材

首先談一談我對教材的理解。本節課選自人教版八年級下冊，主要探究二次根式加減法的計算方法。此前學生在學習二次根式的性質和乘除法時都有過化簡二次根式的經歷，為本節課的學習做了良好的鋪墊;本節課的學習為后續學習二次根式的混合運算打下基礎。

二、說學情

再來談談學生的情況。這一階段的學生已經具備了一定的發現問題、解決問題的能力，邏輯思維和計算能力也有了很大的提升。因此教師在教學過程中，要針對學生的'特點進行有針對的教學，以便于課程內容的有效展開。

三、說教學目標

基于以上分析，我制定了如下三維教學目標：

(一)知識與技能

掌握二次根式加減法的計算方法，并能用以解決簡單問題。

(二)過程與方法

通過探究二次根式加減法的計算方法的過程，進一步感受由特殊到一般的思想，提升運算能力。

(三)情感、態度與價值觀

感受數學和生活息息相關，提升學習數學的興趣。

四、說教學重難點

在教學目標的實現過程中，教學重點是二次根式加減法的計算方法，教學難點是二次根式加減法的計算方法的探究。

五、說教法學法

現代教學理論認為，在教學過程中，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者、合作者。根據這一教學理念，本節課我將采用講授法、練習法、小組合作探究等教學方法。

六、說教學過程

下面重點談談我對教學過程的設計。

(一)導入新課

此時我會請學生嘗試總結二次根式加減法的計算方法。以學生的現有能力，能夠說出其中的關鍵內容。我會在此基礎上予以規范：一般地，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式進行合并。

以上活動使得學生親身經歷了知識的形成過程，更容易理解和接受，同時能夠提升分析問題、解決問題與類比遷移等諸多方面的能力。

(三)課堂練習

對于本節課而言，探究計算方法是其中一項目標，鞏固練習也同樣重要。我會選用教材上的例1和例2作為課堂練習題。

例1的第(1)小題是兩個具體的二次根式相減，相對簡單，直接考查二次根式加減法的計算方法;第(2)小題二次根式的被開方數中含有字母，更加具有一般性，在一定程度上考驗抽象思維。

例2第(1)小題難度有所提升，不僅二次根式相對復雜，而且是加減混合運算;第(2)小題更是在加減混合運算的基礎上出現了小括號，并且各括號內部無法合并，因此多了一個去括號的步驟。

這樣的練習題不僅進一步完善了二次根式加減法的計算方法，而且能讓學生體會到二次根式的加減與整式的加減在流程上的一致性，從而建立新舊知識間的聯系，完善知識體系。

(四)小結作業

最后，我會請學生自主總結本節課的收獲，在鍛煉學生的總結與表達能力的同時獲得教學反饋。

課后作業一方面是完成課后練習，再次鞏固二次根式的加減法;另一方面是總結二次根式的概念、性質及運算法則，以便形成系統的認知。

〖四〗數學二次根式教案

這是八年級第十六章第三節，學生是在已掌握最簡二次根式、合并同類二次根式以及二次根式的加減法的基礎上進一步學習二次根式的乘除法，同時為以后學習二次根式的混合運算作鋪墊。首先，情景引入：通過將大正方形中已知兩小正方形的面積，求剩下的長方形面積的問題引入二次根式的乘法及乘法法則；其次，通過例題1利用總結出二次根式的乘除法則進行計算同時注意結果要化簡；再次，利用乘除法關系引入二次根式的除法法則并用之計算；最后，通過二次根式的乘除法來解決實際問題。

總而言之：在二次根式的乘除法運算法則的學習和應用的過程中，滲透分析、概括、類比等數學思想方法，提高學生的思維品質和學習興趣。

此節教學過程中要注意：在學生學習過程中對二次根式的乘除法法則理解上問題不大，但常常忘記運算結果需要化簡，此外被開方數是多項式的乘除法運算上容易出錯。象練習冊第3題的(3)小題盡管課堂上練過一題,但還是有人錯。

〖五〗數學二次根式教案

1.1正數和負數

①把0以外的數分為正數和負數。0是正數與負數的分界。

②負數：比0小的數 正數：比0大的數 0既不是正數，也不是負數

1.2有理數

1.2.1有理數

①正整數，0，負整數，正分數，負分數都可以寫成分數的形式，這樣的數稱為有理數。

②所有正整數組成正整數集合，所有負整數組成負整數集合。正整數，0，負整數統稱整數。

1.2.2數軸

①具有原點，正方向，單位長度的直線叫數軸。

1.2.3相反數

①只有符號不同的數叫相反數。

②0的相反數是0 正數的相反數是負數 負數的相反數是正數

1.2.4絕對值

①絕對值 |a|

②性質：正數的絕對值是它的本身

負數的絕對值的它的相反數

0的絕對值的0

1.2.5數的大小比較

①數學中規定：在數軸上表示有理數，它們從左到右的順序，就是從小到大的順序，即左邊的數小于右邊的數。

②正數大于0，0大于負數，正數大于負數。兩個負數，絕對值大的反而小。

1.3有理數的加減法

1.3.1有理數的加法

①同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加。

②絕對值不相等的異號兩數相加，去絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值，互為相反數的兩個數相加得0。

③一個數同0相加，仍得這個數。

④加法交換律：兩個數相加，交換加數的位置，和不變。a+b=b+a

⑤加法結合律：三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加，和不變。(a+b)+c=(a+c)+b

1.3.2有理數的減法

①減去一個數，等于加這個數的相反數。a-b=a+(-b)

1.4有理數的乘除法

1.4.1有理數的乘法

①兩數相乘，同號得正，異號的負，并把絕對值相乘。

②任何數同0相乘，都得0。

③乘積是1的兩個數互為倒數。

④幾個不是0的數相乘，負因數的個數的偶數時，積是正數;負因數的個數是奇數時，積是負數。

⑤乘法交換律：兩個數相乘，交換因數的位置，積相等。ab=ba

⑥乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積相等。(ab)c=(ac)b

⑦乘法分配律：一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩個數相乘，再把積相加。a(b+c)=ab+ac

1.4.2有理數的除法

①除以一個不等0的數，等于乘以這個數的倒數。

②兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0除以任何一個不等于0的數，都得0

③乘除混合運算往往先將除法化成乘法，然后確定積的符號，最后求出結果。

④有理數的加減乘除混合運算，如無括號指出先做什么運算，則按照‘先乘除，后加減’的順序進行。

1.5有理數的乘方

1.5.1乘方

①求n個相同因數的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪。a叫做底數，n 叫做指數。

②負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪的正數。

③正數的任何次冪都是正數，0的任何正整數次冪都是0。

④做有理數的混合運算時，應注意以下運算順序：

1.先乘方，再乘除，最后加減;

2.同級運算，從左到右進行;

3.如有括號，先做括號內的運算，按小括號，中括號，大括號依次進行。

1.5.2科學記數法。

①把一個大于10的數表示成的形式(其中a是整數數位只有一位的數，n是正整數)，使用的是科學記數法。

1.5.3近似數

①一個數只是接近實際人數，但與實際人數還有差別，它是一個近似數。

②近似數與準確數的接近程度，可以用精確度表示。

③從一個數的左邊第一個非0數字起，到末位數字止，所有的數字都是這個數的有效數字。

〖六〗數學二次根式教案

1.教學目標

(1)經歷二次根式的乘法法則和積的算術平方根的性質的形成過程;會進行簡單的二次根式的乘法運算;

(2)會用公式化簡二次根式.

2.目標解析

(1)學生能通過計算發現規律并對其進行一般化的推廣，得出乘法法則的內容;

(2)學生能利用二次根式的乘法法則和積的算術平方根的性質，化簡二次根式.

教學問題診斷分析

本節課的學習中，學生在得出乘法法則和積的算術平方根的性質后，對于何時該選用何公式簡化運算感到困難.運算習慣的養成與符號意識的養成、運算能力的形成緊密相關，由于該內容與以前學過的實數內容有較多的聯系，例如，整式中的乘法公式在二次根式的運算中也成立，在教學中，要多從聯系性上下力氣.，培養學生良好的運算習慣.

在教學時，通過實例運算，對于將一個二次根式化為最簡二次根式，一般有兩種情況：(1)如果被開方數是分數或分式(包括小數)，可以采用直接利用分式的性質，結合二次根式的性質進行化簡(例見教科書例6解法1)，也可以先寫成算術平方根的商的形式，再利用分式的性質處理分母的根號(例見教科書例6解法2);(2)如果被開方數不含分母，可以先將它分解因數或分解因式，然后吧開得盡方的因數或因式開出來，從而將式子化簡.

本節課的教學難點為：二次根式的性質及乘法法則的正確應用和二次根式的化簡.

教學過程設計

1.復習引入，探究新知

我們前面已經學習了二次根式的概念和性質，本節課開始我們要學習二次根式的乘除.本節課先學習二次根式的乘法.

問題1什么叫二次根式?二次根式有哪些性質?

師生活動學生回答。

【設計意圖】乘法運算和二次根式的化簡需要用到二次根式的性質.

問題2教材第6頁“探究”欄目，計算結果如何?有何規律?

師生活動學生計算、思考并嘗試歸納，引導學生用自己的語言描述乘法法則的內容.

【設計意圖】學生在自主探究的過程中發現規律，運用類比思想，由特殊到一般地，采用不完全歸納的方法得出二次根式的乘法法則.要求學生用數學語言和文字分別描述法則，以培養學生的符號意識.

2.觀察比較，理解法則

問題3簡單的根式運算.

師生活動學生動手操作，教師檢驗.

問題4二次根式的乘除成立的條件是什么?等式反過來有什么價值?

師生活動 學生回答，給出正確答案后，教師給出積的算術平方根的性質.

【設計意圖】讓學生運用法則進行簡單的二次根式的乘法運算，以檢驗法則的掌握情況.乘法法則反過來就是積的算術平方根的性質，性質是為運算服務的，積的算術平方根的性質將積的算術平方根分解成幾個因數或因式的算術平方根的積，利用整式的運算法則、乘法公式等可以簡化二次根式，培養學生的運算能力.

3.例題示范，學會應用

例1 化簡：(1)二次根式的乘除; (2)二次根式的乘除.

師生活動提問：你是怎么理解例(1)的?

如果學生回答不完善，再追問：這個問題中，就直接將結果算成二次根式的乘除可以嗎?你認為本題怎樣才達到了化簡的效果?

師生合作回答上述問題.對于根式運算的最后結果，一般被開方數中有開得盡方的因數或因式，應依據二次根式的性質二次根式的乘除將其移出根號外.

再提問：你能仿照第(1)題的解答，能自己解決(2)嗎?

【設計意圖】通過運算，培養學生的運算能力，明確二次根式化簡的方向.積的算術平方根的性質可以進行二次根式的化簡.

例2 計算：(1)二次根式的乘除; (2)二次根式的乘除; (3)二次根式的乘除

師生活動學生計算，教師檢驗.

(1)在被開方數相乘的時候，就可以考慮因數或因式分解，由二次根式的乘除直接可得二次根式的乘除而不必先寫成二次根式的乘除再分解;

(2)二次根式的乘法運算類似于整式的乘法運算，交換律、結合律都是適用的.對于根號外有系數的根式在相乘時，可以將系數先相乘作為積的系數，再對根式進行運算;

(3)例(3)的運算是選學內容.讓學有余力的學生學到“根號下為字母的二次根式”的運算.本題先利用積的算術平方根的性質，得到二次根式的乘除，然后利用二次根式的乘法法則，變成二次根式的乘除，由于二次根式的乘除可以判斷二次根式的乘除，因此直接將x移出根號外.

【設計意圖】引導學生及時總結，強調利用運算律進行運算，利用乘法公式簡化運算.讓學生認識到，二次根式是一類特殊的實數，因此滿足實數的運算律，關于整式運算的公式和方法也適用.

教材中雖然指明，如未特別說明，本章中所有的字母都表示正數，但仍應強調，看到根號就要注意被開方數的符號.可以根據二次根式的概念對字母的符號進行判斷，在移出根號時正確處理符號問題.

4.鞏固概念，學以致用

練習：教科書第7頁練習第1題. 第10頁習題16.2第1題.

【設計意圖】鞏固性練習，同時檢驗乘法法則的掌握情況.

5.歸納小結，反思提高

師生共同回顧本節課所學內容，并請學生回答以下問題：

(1)你能說明二次根式的乘法法則是如何得出的嗎?

(2)你能說明乘法法則逆用的意義嗎?

(3)化簡二次根式的基本步驟是怎樣?一般對最后結果有何要求?

6.布置作業：教科書第7頁第2、3題.習題16.2第1，6題.

五、目標檢測設計

1.下列各式中，一定能成立的是( )

A.二次根式的乘除 B.二次根式的乘除

C.二次根式的乘除 D.二次根式的乘除

【設計意圖】考查二次根式的概念和性質，這是進行二次根式的乘法運算的基礎.

2.化簡二次根式的乘除 ______________________________。

【設計意圖】二次根式是特殊的實數，實數的相關運算法則也適用于二次根式.

3.已知二次根式的乘除，化簡二次根式二次根式的乘除的結果是()

A.二次根式的乘除 B.二次根式的乘除 C.二次根式的乘除 D.二次根式的乘除

【設計意圖】鞏固二次根式的性質，利用積的算術平方根的性質正確化簡二次根式.

〖七〗數學二次根式教案

“好的開始是成功的一半”導入新課，是課堂教學的重要一環。在課的起始階段，迅速集中學生的注意力，把他們思緒帶進特定的學習情境中，激發起學生濃厚的學習興趣和強烈的求知欲，對這堂課教學的成敗與否起著至關重要的作用。可有效地開啟學生思維的閘門，激發聯想，激勵探究，使學生的學習狀態由被動變為主動，使學生在輕松愉悅的氛圍中學到知識。

本節課開始時，首先由一個求修建兩塊運動場的草坪面積的實際問題出發，引導學生得出兩個二次根式求和的運算。從而提出問題：如何進行二次根式的加減運算?這樣通過問題指向本課研究的重點，激發學生的學習興趣和強烈的求知欲望。然后指導學生根據問題導讀單，去自學課本。通過自學課本再完成問題導讀單，從而自己獨立學習結合小組合作學習掌握二次根式的加減運算。通過我深入小組搜集信息、指導學習，發現學生具備自學能力，獨立自學時很肅靜，同學們都能夠通過翻閱課本自己獨立完成問題導讀單上的一些問題。合作學習時也很熱鬧，同學們都能夠交流自己的見解，并且能夠針對一些見解提出自己的看法讓大家評議。

通過深入各組巡視指導可知問題導讀單的設計是合乎學生的認知能力的。課堂上最精彩的還數同學們的學習匯報。例如：一位同學匯報時說：被開方數相同的二次根式是同類二次根式。另一位同學馬上站起來說：不對，應該是化簡后被開方數相同的二次根式才是同類二次根式。又如：一位同學匯報時說：二次根式的加減就是合并同類二次根式。此時另一位補充說：準確的說應該是先化簡，再判斷哪些是同類二次根式，然后再合并。通過同學們的匯報，可見同學們在自學時是全身心的投入，充分的研究、討論、交流才有如此準確的回答。

總之，本節課我感覺同學們學習的效果非常好，學習氣氛濃厚，能夠自主合作探究學習。這一切都歸功于韓博士給我們帶來的《新課程有效課堂教學行動策略》。我們應該借課改的東風，繼續學習新課程的理論知識，武裝我們的頭腦，用它來指導我們上好每一堂課。

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〖八〗數學二次根式教案

1教學目標

1.知識與技能

(1)理解二次根式的概念;二次根式的加減;二次根式的乘除;最簡二次根式.

(2)了解最簡二次根式的概念并靈活運用它們對二次根式進行加減.

2.過程與方法

(分析問題，師生共同歸納，得出概念.再對概念的內涵進行分析，得出幾個重要結論，并運用這些重要結論進行二次根式的計算和化簡.

(2)用具體數據探究規律，用不完全歸納法得出二次根式的乘(除)法規定，并運用規定進行計算.

(3)利用逆向思維，得出二次根式的乘(除)法規定的逆向等式并運用它進行化簡.

(4)通過分析前面的計算和化簡結果，抓住它們的共同特點，給出最簡二次根式的概念.利用最簡二次根式的概念，來對相同的二次根式進行合并，達到對二次根式進行計算和化簡的目的.

態度與價值觀

通過本單元的學習培養學生：利用規定準確計算和化簡的嚴謹的科學精神，經過探索二次根式的重要結論，二次根式的乘除規定，發展學生觀察、分析、發現問題的能力.

2學情分析

二次根式是在學完了八年級下冊第十七章《反比例正函數》、第十八章《勾股定理及其應用》等內容的基礎之上繼續學習的，它也是今后學習其他數學知識的基礎.

3重點難點

教學重點：

1.二次根式 (a≥0)的內涵. (a≥0)是一個非負數;( )2=a(a≥0); =a(a≥0)及其運用.

2.二次根式乘除法的規定及其運用.

3.最簡二次根式的概念.

4.二次根式的加減運算.

教學難點：

4教學過程 4.1 第一學時 教學活動 活動1【導入】21.1二次根式

二次根式的概念及其運用

活動復習引入

探索新知

活動鞏固練習

教材P練習3.

活動應用拓展

1.形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”稱為二次根號.

2.要使二次根式在實數范圍內有意義，必須滿足被開方數是非負數.

16.1　二次根式

課時設計 課堂實錄

16.1　二次根式

1第一學時 教學活動 活動1【導入】21.1二次根式

二次根式的概念及其運用

活動復習引入

探索新知

活動鞏固練習

教材P練習3.

活動應用拓展

1.形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”稱為二次根號.

2.要使二次根式在實數范圍內有意義，必須滿足被開方數是非負數.

〖九〗數學二次根式教案

教學內容

二次根式的加減

教學目標

知識與技能目標：理解和掌握二次根式加減的方法.

過程與方法目標：先提出問題，分析問題，在分析問題中，滲透對二次根式進行加減的方法的理解.再總結經驗，用它來指導根式的計算和化簡.

情感與價值目標：通過本節的學習培養學生：利用規定準確計算和化簡的嚴謹的科學精神，發展學生觀察、分析、發現問題的能力.

重難點關鍵

1.重點：二次根式化簡為最簡根式.

2.難點關鍵：會判定是否是最簡二次根式.

教法：

1、引導發現法:通過教師精心設計的問題鏈，使學生產生認知沖突，感悟新知，建立分式的模型，引導學生觀察、類比、參與問題討論，使感性認識上升為理性認識，充分體現了教師主導和學生主體的作用，對實現教學目標起了重要的作用;

2、講練結合法:在例題教學中，引導學生閱讀，與同類項進行類比，獲得解決問題的方法后配以精講，并進行分層練習，培養學生的閱讀習慣和規范的解題格式。

學法：

1、類比的方法通過觀察、類比，使學生感悟二次根式加減的'模型，形成有效的學習策略。

2、閱讀的方法讓學生閱讀教材及材料，體驗一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見在小組內交換，達到取長補短，體驗學習活動中的交流與合作。

4、練習法采用不同的練習法，鞏固所學的知識;利用教材進行自檢，小組內進行他檢，提高學生的素質。

知識點

自主檢測、同伴互查

1、師生共同解決“學法”問題與13頁“練習1”;

2、學生演板13頁“練習2、3”。

四、知識梳理、師生共議

1、談收獲：

(1)二次根式的加減法則是什么?有哪些運算步驟?

(2)怎樣合并被開方數相同的二次根式呢?

(3)二次根式進行加減運算時應注意什么問題?

2、說不足：。

五、作業訓練、鞏固提高

1、必做題：課本15頁的“習題2、3”;

課時練習

1.揭示學法、自主學習

認真閱讀課本14頁內容，完成下列任務：

1、完成14頁“例3、4”，先做再對照：

(1)平方差公式__________，完全平方公式__________.

(2)每步的運算依據是什么?應注意什么問題?

(時間7分鐘若有困難，與同伴討論)

三、自主檢測、同伴互查

1、師生共同解決“學法”問題;

2、學生演板14頁“練習1、2”。

四、知識梳理、師生共議

1、談收獲：

(1)二次根式進行混合運算時運用了哪些知識?

(2)二次根式進行混合運算時應注意哪些問題?

〖十〗數學二次根式教案

一、內容和內容解析

1.內容

二次根式的除法法則及其逆用，最簡二次根式的概念。

2.內容解析

二次根式除法法則及商的算術平方根的探究，最簡二次根式的提出，為二次根式的運算指明了方向，學習了除法法則后，就有比較豐富的運算法則和公式依據，將一個二次根式化成最簡二次根式，是加減運算的基礎.

基于以上分析，確定本節課的教學重點：二次根式的除法法則和商的算術平方根的性質，最簡二次根式.

二、目標和目標解析

1.教學目標

(1)利用歸納類比的方法得出二次根式的除法法則和商的算術平方根的性質;

(2)會進行簡單的二次根式的除法運算;

(3) 理解最簡二次根式的概念.

2.目標解析

(1)學生能通過運算，類比二次根式的乘法法則，發現并描述二次根式的除法法則;

(2)學生能理解除法法則逆用的意義，結合二次根式的概念、性質、乘除法法則，對簡單的二次根式進行運算.

(3)通過觀察二次根式的運算結果，理解最簡二次根式的特征，能將二次根式的運算結果化為最簡二次根式.

三、教學問題診斷分析

本節內容主要是在做二次根式的除法運算時，分母含根號的處理方式上，學生可能會出現困難或容易失誤，在除法運算中，可以先計算后利用商的算術平方根的性質來進行，也可以先利用分式的性質，去掉分母中的根號，再結合乘法法則和積的算術平方根的性質來進行.二次根式的除法與分式的運算類似，如果分子、分母中含有相同的因式，可以直接約去，以簡化運算.教學中不能只是列舉題型，應以各級各類習題為載體，引導學生把握運算過程，估計運算結果，明確運算方向.

本節課的教學難點為：二次根式的除法法則與商的算術平方根的性質之間的關系和應用.

四、教學過程設計

1.復習提問，探究規律

問題1二次根式的乘法法則是什么內容?化簡二次根式的一般步驟怎樣?

師生活動學生回答。

【設計意圖】讓學生回憶探究乘法法則的過程，類比該過程，學生可以探究除法法則.

五、目標檢測設計

〖十一〗數學二次根式教案

二次根式的應用主要體現在兩個方面：

1.利用從特殊到一般，在由一般到特殊的重要思想方法，解決一些規律探索性問題;

2.利用二次根式解決長度、高度計算問題，根據已知量，求出一些長度或高度，或設計省料的方案，以及圖形的拼接、分割問題。這個過程需要用到二次根式的計算，其實就是化簡求值。

(1)設計一些規律探索問題提高學生的想象力和創造力;(2)聯系生活實際設計一些方案探究題。

(1)不能通過觀察，歸納、猜想尋找出共同的規律，并運用這種規律解決問題;

(2)不會應用數學的知識解決實際生活中的問題。

【典型例題】小麗想用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300cm2的長方形紙片，使它的長、寬比為3：2，不知道能否裁出來，正在發愁你能幫他解決嗎?

二次根式的運算主要是研究二次根式的乘除和加減.

(1)二次根式的加減：

需要先把二次根式化簡，然后把被開方數相同的二次根式(即同類二次根式)的系數相加減，被開方數不變。

注意：對于二次根式的加減，關鍵是合并同類二次根式，通常是先化成最簡二次根式，再把同類二次根式合并.但在化簡二次根式時，二次根式的被開方數應不含分母，不含能開得盡的因數.

注意：乘、除法的運算法則要靈活運用，在實際運算中經常從等式的右邊變形至等式的左邊，同時還要考慮字母的取值范圍，最后把運算結果化成最簡二次根式.

(4)二次根式的混合運算：

先乘方(或開方)，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的;能利用運算律或乘法公式進行運算的，可適當改變運算順序進行簡便運算.

注意：進行根式運算時，要正確運用運算法則和乘法公式，分析題目特點，掌握方法與技巧，以便使運算過程簡便.二次根式運算結果應盡可能化簡.另外，根式的分數必須寫成假分數或真分數，不能寫成帶分數.

〖十二〗數學二次根式教案

1．理解分母有理化與除法的關系．

2．掌握二次根式的分母有理化．

3．通過二次根式的分母有理化，培養學生的運算能力．

二次根式混合運算的步驟、運算順序、互為有理化因式．

例1 說出下列算式的運算步驟和順序：

（1） （先乘除，后加減）．

（2） （有括號，先去括號；不宜先進行括號內的運算）．

（3）辨別有理化因式：

化簡一個式子，如果分母是二次根式，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法（依據分式的基本性質）．

例如：等式子的化簡，如果分母是兩個二次根式的和，應該怎樣化簡？

化簡式子 ，乘以什么樣的式子，分母中的根式符號可去掉，結論是分子與分母要同乘以 的有理化因式，而這個式子就是 ，從而可將式子化簡．

注：通過例題的講解，使學生理解和掌握化簡的步驟、關鍵問題、化簡的依據．式子的化簡，若分子與分母可分解因式，則可先分解因式，再約分，使化簡變得簡單．

〖十三〗數學二次根式教案

一、教學目標

1。使學生知道什么是最簡二次根式，遇到實際式子能夠判斷是不是最簡二次根式。

2。使學生掌握化簡一個二次根式成最簡二次根式的方法。

3。使學生了解把二次根式化簡成最簡二次根式在實際問題中的應用。

二、教學重點和難點

1。重點：能夠把所給的二次根式，化成最簡二次根式。

2。難點：正確運用化一個二次根式成為最簡二次根式的方法。

三、教學方法

通過實際運算的例子，引出最簡二次根式的概念，再通過解題實踐，總結歸納化簡二次根式的方法。

四、教學手段

利用投影儀。

五、教學過程

（一）引入新課

提出問題：如果一個正方形的面積是0。5m2，那么它的邊長是多少？能不能求出它的近似值？

了。這樣會給解決實際問題帶來方便。

（二）新課

由以上例子可以看出，遇到一個二次根式將它化簡，為解決問題創

這兩個二次根式化簡前后有什么不同，這里要引導學生從兩個方面考慮，一方面是被開方數的因數化簡后是否是整數了，另一方面被開方數中還有沒有開得盡方的因數。

總結滿足什么樣的條件是最簡二次根式。即：滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式：

1。被開方數的因數是整數，因式是整式。

2。被開方數中不含能開得盡方的.因數或因式。

例1 指出下列根式中的最簡二次根式，并說明為什么。

分析：

說明：這里可以向學生說明，前面兩小節化簡二次根式，就是要求化成最簡二次根式。前面二次根式的運算結果也都是最簡二次根式。

例2 把下列各式化成最簡二次根式：

說明：引導學生觀察例2題中二次根式的特點，即被開方數是整式或整數，再啟發學生總結這類題化簡的方法，先將被開方數或被開方式分解因數或分解因式，然后把開得盡方的因數或因式開出來，從而將式子化簡。

例3 把下列各式化簡成最簡二次根式：

說明：

1。引導學生觀察例題3中二次根式的特點，即被開方數是分數或分式，再啟發學生總結這類題化簡的方法，先利用商的算術平方根的性質把它寫成分式的形式，然后利用分母有理化化簡。

2。要提問學生

問題，通過這個小題使學生明確如何使用化簡中的條件。

通過例2、例3總結把一個二次根式化成最簡二次根式的兩種情況，并引導學生小結應該注意的問題。

注意：

①化簡時，一般需要把被開方數分解因數或分解因式。

②當一個式子的分母中含有二次根式時，一般應該把它化簡成分母中不含二次根式的式子，也就是把它的分母進行有理化。

（三）小結

1。滿足什么條件的根式是最簡二次根式。

2。把一個二次根式化成最簡二次根式的主要方法。

（四）練習

1。指出下列各式中的最簡二次根式：

2。把下列各式化成最簡二次根式：

六、作業

教材P。187習題11。4;A組1;B組1。

七、板書設計

〖十四〗數學二次根式教案

本節課主要內容是學習二次根式的定義和性質，重點是對二次根式的性質1和性質的理解及應用2.難點是性質1和性質2的區別與聯系.

上完本節課后，我的反思如下：

1.由于本節課是蘇科版九年級上冊第21章的內容，是一節新授課。在備課時我就按照目標讓學生明白、過程讓學生經歷、結論讓學生討論、規律讓學生總結的指導原則進行認真備課，尤其對例題與練習題也進行了精心的挑選，按照由易到難由簡入繁的順序安排，并且認真制作了課件，便于學生對重點內容的理解和難點的解決.

2.在實際授課中，在讓學生明白了本節學習目標后，通過以下步驟讓學生認識、理解、并掌握本節知識：（1）讓學生回顧了算術平方根與平方根的概念，并且通過一個思考欄目的四道題，得出二次根式的定義后又復習了算術平方根具有雙重非負性；（2）通過練習掌握如何判斷一個式子是否是二次根式的條件，并經過例1掌握二次根式在實數范圍內有意義的條件；（3）通過練習讓學生得出二次根式的兩個性質，體會從特殊到一般的思維過程，進而掌握公式的一般推導方法；……，本節課大部分時間都是引導學生邊學邊做，讓學生經歷了整個學習過程。

3.在學習過程中，突出了引導學生自己得出結論，特別是二次根式的兩個性質，在做完思考題之后，學生自己就初步得出了結論，而且通過其他學生的補充越來越完善。

4.讓學生自己找出性質1和性質2的區別與聯系，雖然不夠系統和完整，但通過這樣的訓練，培養了學生總結規律的能力。

5.在實際教學中，仍然存在著對課堂時間把握不精確的問題，出現了前松后緊的現象，以致有深度的練習沒時間完成，結束的也比較倉促。在今后教學中，應注意時間的掌控。

6.在引導學生探索求知和互動學習方面還有欠缺。新的教學理念要求教師在課堂教學中注意引導學生探究學習，在我的`課堂教學中，對學生探索求知進行了引導，并且鼓勵大家自己得出結論，但在互動方面做的還不夠，大部分學生都是獨立思考，很少與同學合作交流，今后的教學中應多培養學生合作交流的意識，這樣有助于他們今后的生活和學習。

通過這節課，使我的教學技能得到了很好的鍛煉，我在今后的教學中，將繼續學習好的一面，對不足之處進行改善，爭取使自己的教學水平得到提高。

〖十五〗數學二次根式教案

【1】二次根式的加減教案

教材分析:

本節內容出自九年級數學上冊第二十一章第三節的第一課時，本節在研究最簡二次根式和二次根式的乘除的基礎上，來學習二次根式的加減運算法則和進一步完善二次根式的化簡。本小節重點是二次根式的加減運算，教材從一個實際問題引出二次根式的加減運算，使學生感到研究二次根式的加減運算是解決實際問題的需要。通過探索二次根式加減運算，并用其解決一些實際問題，來提高我們用數學解決實際問題的意識和能力。另外，通過本小節學習為后面學生熟練進行二次根式的加減運算以及加、減、乘、除混合運算打下了鋪墊。

學生分析:

本節課的內容是知識的延續和創新，學生積極主動的投入討論、交流、建構中，自主探索、動手操作、協作交流，全班學生具有較扎實的知識和創新能力，通過自學、小組討論大部分學生能夠達到教學目標，少部分學生有困難，基礎差、自學能力差，因此要提供賞識性評價教學策略，給予個別關照、心理暗示以及適當的精神激勵，克服自卑心理，讓他們逐步樹立自尊心與自信心，從而完成自己的學習任務。

設計理念:

新課程有效課堂教學明確倡導，學生是學習的主人，在學生自學文本的基礎上動手實踐、自主探究、合作交流，來倡導新的學習觀，讓他們完成二次根式加減知識研究。教師從過去知識的傳授者轉變為學生的自主性、探究性、合作性學習活動的設計者和組織者，與學生零距離接觸共同探究。在教學過程中教師設置開放的、面向實際的、富有挑戰性的問題情境，使學生在嘗試、探索、思考、交流與合作中培養分析、歸納、總結的能力，把“要我學”變成“我要學”，通過開放式命題，嘗試從不同角度尋求解決問題的方法，養成良好的學習習慣，掌握學習策略，并根據活動中示范和指導培養學生大膽闡述并討論觀點，說明所獲討論的有效性，并對推論進行評價。從而營造一個接納的、支持的、寬容的良好氛圍進行學習。

教學目標知識與技能目標：

會化簡二次根式，了解同類二次根式的概念，會進行簡單的二次根式的加減法;通過加減運算解決生活的實際問題。

過程與方法目標：

通過類比整式加減法運算體驗二次根式加減法運算的過程;學生經歷由實際問題引入數學問題的過程，發展學生的抽象概括能力。

情感態度與價值觀：

通過對二次根式加減法的探究，激發學生的探索熱情，讓學生充分參與到數學學習的過程中來，使他們體驗到成功的樂趣.

重點、難點:重點：

合并被開放數相同的同類二次根式，會進行簡單的二次根式的加減法。

難點：

二次根式加減法的實際應用。

關鍵問題 :

了解同類二次根式的概念，合并同類二次根式，會進行二次根式的加減法。

教學方法:.

1. 引導發現法：在教師的啟發引導下，鼓勵學生積極參與，與實際問題相結合，采用“問題—探索—發現”的研究模式，讓學生自主探索，合作學習，歸納結論，掌握規律。

2. 類比法：由實際問題導入二次根式加減運算;類比合并同類項合并同類二次根式。

3.嘗試訓練法：通過學生嘗試，教師針對個別問題進行點撥指導，實現全優的教育效果。

【2】二次根式的加減教案

教學目標：

1.知識目標：二次根式的加減法運算

2.能力目標：能熟練進行二次根式的加減運算，能通過二次根式的加減法運算解決實際問題。

3.情感態度：培養學生善于思考，一絲不茍的科學精神。

重難點分析：

重點：能熟練進行二次根式的加減運算。

難點：正確合并被開方數相同的二次根式，二次根式加減法的實際應用。

教學關鍵：通過復習舊知識，運用類比思想方法，達到溫故知新的目的;運用創設問題激發學生求知欲;通過學生全面參與學習(分層次要求)，達到每個學生在學習數學上有不同的發展。

運用教具：小黑板等。

教學過程：

〖十六〗數學二次根式教案

教學目標

1．使學生進一步理解二次根式的意義及基本性質，并能熟練 地化簡含二次根式的式子；

2．熟練地進行二次根式的加、減、乘、除混合運算．

教學重點和難點

重點：含二次根式的式子的混合運算．

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難點：綜合運用二次根式的 性質及運算法則化簡和計算含二次根式的式子．

教學過程設計

一、復習

1．請同學回憶二次根式有哪些基本性質？用式子表示出來，并說明各 式成立的條件．

指出：二次根式的這些基本性質都是在一定條件 下才成立的，主要應用于化簡二次根式．

2．二次根式 的乘法及除法的法則是什么？用式子表示出來．

指出：二次根式的乘、除法則也是在一定條件下成立的．把兩個二次根式相除，

計算結果要把分母有理化．

3．在二次根式的化簡或計算中，還常用到以下兩個二次根式的關系式：

4．在含有二次根式的式子的化簡及求值等問題中，常運用三個可逆的式子：

二、例題

例1 x取什么值時，下列各式在實數范圍內有意義：

分析：

(1)題是兩個二次根式的和，x的取值必須使兩個二次根式都有意義；

(3)題是兩個二次根式的.和， x的取值必須使兩個二次根式都有意義；

(4)題的分子是二次根式，分母是含x的單項式，因此x的取值必須使二次根式有意義，同時使分母的值不等于零．

x-2且x0．

解因為n2-90， 9-n20，且n-30，所以n2=9且n3，所以

例3

分析：第一個二次根式的被開方數的分子與分母都可以分解因式．把它們分別分解因式后，再利用二次根式的基本性質把式子化簡，化簡中應注意利用題中的隱含條件3 -a0和1-a＞0．

解 因為1-a＞0，3-a0，所以

a＜1，|a-2|＝2-a．

(a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)0．

這些性質化簡含二次根式的式子時，要注意上述條件，并要闡述清楚是怎樣滿足這些條件的．

問：上面的代數式中的兩個二次根式的被開方數的式子如何化為完全平方式？

分析：先把第二個式子化簡，再把兩個式子進行通分，然后進行計算．

注意：

所以在化簡過程中，

例6

分析：如果把兩個式子通分，或把每一個式子的分母有理化再進行計算，這兩種方法的運算量都較大，根據式子的結構特點，分別把兩個式子的分母看作一個整體，用換元法把式子變形，就可以使運算變為簡捷．

a+b＝2(n+2)，ab=(n+2)2-(n2-4)＝4(n+2)，

三、課堂練習

1．選擇題：

A．a2B．a2

C．a2D．a＜2

A ．x+2 B．-x-2

C．-x+2D．x-2

A．2x B．2a

C．-2x D．-2a

2．填空題：

4．計算：

四、小結

1．本節課復習的五個基本問題是“二次根式”這一章的主要基礎知識，同學們要深刻理解并牢固掌握．

2．在一次根式的化簡、計算及求值的過程中，應注意利用題中的使二次根式有意義的條件(或題中的隱含條件)，即被開方數為非負數，以確定被開方數中的字母或式子的取值范圍．

3．運用二次根式的四個基本性質進行二次根式的運算時，一定要注意論述每一個性質中字母的取值范圍的條件．

4．通過例題的討論，要學會綜合、靈活運用二次根式的意義、基本性質和法則以及有關多項式的因式分解，解答有關含二次根式的式子的化簡、計算及求值等問題．

五、作業

1．x是什么值時，下列各式在實數范圍內有意義？

2．把下列各式化成最簡二次根式：

〖十七〗數學二次根式教案

1.二次根式概念：式子a(a≥0)叫做二次根式。

2.最簡二次根式：必須同時滿足下列條件：

3.同類二次根式：

二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數相同，則這幾個二次根式就是同類二次根式。4.二次根式的_質：

a(a0)22(1)(a)=a(a≥0);(2)aa

0(a=0);

5.二次根式的運算：

a(a0)

(1)因式的外移和內移：如果被開方數中有的因式能夠開得盡方，那么，就可以用它的算術根代替而移到根號外面;如果被開方數是代數和的形式，那么先解因式，變形為積的形式，再移因式到根號外面，反之也可以將根號外面的正因式平方后移到根號里面.

(2)二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡二次根式再合并同類二次根式.

(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，將被開方數相乘(除)，所得的積(商)仍作積(商)的被開方數并將運算結果化為最簡二次根式

單項式和多項式統稱為整式。

1.單項式：

1)數與字母的乘積這樣的代數式叫做單項式。

單獨的一個數或字母(可以是兩個數字或字母相乘)也是單項式。

2)單項式的系數：單項式中的數字因數及_質符號叫做單項式的系數。

3)單項式的次數：一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數。

2.多項式：

1)幾個單項式的和叫做多項式。在多項式中，每個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫做常數項。一個多項式有幾項就叫做幾項式。

2)多項式的次數：多項式中，次數最高的項的次數，就是這個多項式的次數。

3.多項式的排列：

1).把一個多項式按某一個字母的指數從大到小的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母降冪排列。

2).把一個多項式按某一個字母的指數從小到大的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母升冪排列。

由于單項式的項，包括它前面的_質符號，因此在排列時，仍需把每一項的_質符號看作是這一項的一部分，一起移動

〖十八〗數學二次根式教案

教學建議

知識結構

.

重難點分析

本節的重點是 的化簡。本章自始至終圍繞著與計算進行，而 的化簡不但涉及到前面學習過的算術平方根、二次根式等概念與二次根式的運算性質，還要牽涉到絕對值以及各種非負數、因式分解等知識，在應用中常常需要對字母進行分類討論。

本節的難點是正確理解與應用公式

.

這個公式的表達形式對學生來說，比較生疏，而實際運用時，則要牽涉到對字母取值范圍的討論，學生往往容易出現錯誤。

教法建議

1.性質的引入方法很多，以下2種比較常用：

（1）設計問題引導啟發：由設計的問題

1） 、 、 各等于什么？

2） 、 、 各等于什么？

啟發、引導學生猜想出

（2）從算術平方根的意義引入。

2.性質的鞏固有兩個方面需要注意：

（1）注意與性質 進行對比，可出幾道類型不同的題進行比較；

（2）學生初次接觸這種形式的表示方式，在教學時要注意細分層次加以鞏固，如單個數字，單個字母，單項式，可進行因式分解的多項式，等等。

（第1課時）

一、教學目標

1.掌握二次根式的性質

2.能夠利用二次根式的性質化簡二次根式

3.通過本節的學習滲透分類討論的數學思想和方法

二、教學設計

對比、歸納、總結

三、重點和難點

1.重點：理解并掌握二次根式的性質

2.難點：理解式子 中的 可以取任意實數，并能根據字母的取值范圍正確地化簡有關的二次根式。

四、課時安排

1課時

五、教具學具準備

投影儀、膠片、多媒體

六、師生互動活動設計

復習對比，歸納整理，應用提高，以學生活動為主

七、教學過程

一、導入??新課

我們知道，式子 （ ）表示非負數 的算術平方根。

問：式子 的意義是什么？被開方數中的 表示的是什么數？

答：式子 表示非負數 的算術平方根，即 ，且 ，從而 可以取任意實數。

二、新課

計算下列各題，并回答以下問題：

（1） ； （2） ； （3） ；

（4） ； （5） ； （6）

（7） ； （8）

1.各小題中被開方數的冪的底數都是什么數？

2.各小題的結果和相應的被開方數的冪的底數有什么關系？

3.用字母 表示被開方數的冪的底數，將有怎樣的結論？并用語言敘述你的結論。

答：

（1） ； （2） ； （3） ；

（4） ； （5） ； （6）

（7） ； （8） .

1.（1），（2），（3）各題中的被開方數的冪的底數都是正數；（4），（5），（6），（7）各題中的被開方數的冪的底數都是負數；（8）題被開方數的冪的底數是0.

2.（1），（2），（3），（8）各題的計算結果和相應的被開方數的冪的底數都分別相等；（4），（5），（6），（7）各題的計算結果和相應的被開方數的冪的底數分別互為相反數。

3.用字母 表示（1），（2），（3），（8）各題中被開方數的冪的底數，有

（ ），

用字母 表示（4），（5），（6），（7）各題中被開方數的冪的底數，有

（ ）.

一個非負數的平方的算術平方根，等于這個非負數本身；一個負數的平方的算術平方根，等于這個負數的相反數。

問：請把上述討論結論，用一個式子表示。（注意表示條件和結論）

答：

請同學回憶實數的絕對值的代數意義，它和上述二次根式的性質有什么聯系？

答：

填空：

1.當 _________時， ；

2.當 時， ，當 時， ；

3.若 ，則 ________；

4.當 時， .

答：

1.當 時， ；

2.當 時， ，

當 時， ；

3.若 ，則 ；

4.當 時， .

例1? 化簡 ? （ ）.

分析：可以利用積的算術平方根的性質及二次根式的性質化簡。

解? ，因為 ，所以 ，所以

.

指出：在化簡和運算過程中，把 先寫成 ，再根據已知條件中 的取值范圍，確定其結果。

例2? 化簡 ? （ ）.

分析：根據二次根式的性質，當 時， .

解?? .

例3? 化簡：（1） （ ）； （2） （ ）.

分析：根據二次根式的性質，當 時， .

解? （1） .

（2） .

注意：（1）題中的被開方數 ，因為 ，所以 .

（2）題中的被開方數 ，因為 ，所以 .

這里 的取值范圍，在已知條件中沒有直接給出，但可以由已知條件分析而得出。

例4? 化簡 .

分析：根據二次根式的性質，有

.

所以要比較 與3及1與 的大小以確定 及 的符號，然后再進行化簡。

解? 因為 ， ，所以

， .

所以

.

三、課堂練習

1.求下列各式的值：

（1） ； （2） .

2.化簡：

（1） ； （2） ；

（3） （ ）； （4） （ ）.

3.化簡：

（1） ； （2） ；

（3） ； （4） ；

（5） ； （6） （ ）.

答案：

1.（1）0.1； （2） .

2.（1） ； （2） ； （3） ； （4） .

3.（1）4； （2）1.5； （3）0.09； （4）－1； （5）4； （6）－1.

四、小結

1.二次根式 的意義是 ，所以 ，因此 ，其中 可以取任意實數。

2.化簡形如 的二次根式，首先可把 寫成 的形式，再根據已知條件中字母 的取值范圍，確定其結果。

3.在化簡中，注意運用題設中的隱含條件，如二次根式 有意義的條件是被開方 ，這是隱含條件。

五、作業

1.化簡：

（1） ； （2） ；

（3） （ ）； （4） （ ）；

（5） ； （6） （ ， ）；

（7） ? （ ）.

2.化簡：

（1） ；

（2） （ ）；

（3） （ ， ）.

答案：

1.（1）－30； （2） ； （3） ；

（4） ； （5） ； （6） ； （7） .

2.（1）2； （2）0； （3） .