余弦定理課件

余弦定理課件(優(yōu)選十五篇)。

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角A的鄰邊比斜邊 叫做∠A的余弦，記作cosA(由余弦英文cosine簡寫得來)，即cosA=角A的鄰邊/斜邊(直角三角形)。

定理

cos=x/r

余弦定理三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.

即

在余弦定理中，令C=90°，這時(shí)cosC=0，所以

c2=a2+b2

a 0` 30` 45` 60` 90`

cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0

∴cos30°= √3/2 cos45°=√2/2 cos60°=1/2 cos90°=0

(1)已知三角形的三條邊長，可求出三個(gè)內(nèi)角;

(2)已知三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊;

(3)已知三角形兩邊及其一邊對角，可求其它的角和第三條邊。(見解三角形公式，推導(dǎo)過程略。)

判定定理一(兩根判別法)：

若記m(c1,c2)為c的兩值為正根的.個(gè)數(shù)，c1為c的表達(dá)式中根號前取加號的值，c2為c的表達(dá)式中根號前取減號的值

①若m(c1,c2)=2，則有兩解;

②若m(c1,c2)=1，則有一解;

③若m(c1,c2)=0，則有零解(即無解)。

注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此種情況算到第二種情況，即一解。

判定定理二(角邊判別法)：

一當(dāng)a>bsinA時(shí)

①當(dāng)b>a且cosA>0(即A為銳角)時(shí)，則有兩解;

②當(dāng)b>a且cosA<=0(即A為直角或鈍角)時(shí)，則有零解(即無解);

③當(dāng)b=a且cosA>0(即A為銳角)時(shí)，則有一解;

④當(dāng)b=a且cosA<=0(即A為直角或鈍角)時(shí)，則有零解(即無解);

⑤當(dāng)b

二當(dāng)a=bsinA時(shí)

①當(dāng)cosA>0(即A為銳角)時(shí)，則有一解;

②當(dāng)cosA<=0(即A為直角或鈍角)時(shí)，則有零解(即無解);

余弦和正弦一樣，都是推導(dǎo)出相應(yīng)的三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識，是奠基石的作用

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下面在銳角△中證明第一個(gè)等式，在鈍角△中證明以此類推。

由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2

正、余弦定理是解三角形強(qiáng)有力的工具，關(guān)于這兩個(gè)定理有好幾種不同的證明方法.人教A版教材《數(shù)學(xué)》(必修5)是用向量的數(shù)量積給出證明的，如是在證明正弦定理時(shí)用到作輔助單位向量并對向量的等式作同一向量的.數(shù)量積，這種構(gòu)思方法過于獨(dú)特，不易被初學(xué)者接受.本文試圖通過運(yùn)用多種方法證明正、余弦定理從而進(jìn)一步理解正、余弦定理，進(jìn)一步體會(huì)向量的巧妙應(yīng)用和數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合.

c2=a2+b2-2abcos C,

b2=a2+c2-2accos B,

a2=b2+c2-2bccos A.

AD=bsin∠BCA，

BE=csin∠CAB，

CF=asin∠ABC。

=casin∠ABC.

AD=bsin∠BCA=csin∠ABC，

BE=asin∠BCA=csin∠CAB。

的直徑，則∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

因?yàn)锳B=AC+CB，

所以jAB=j(AC+CB)=jAC+jCB.

因?yàn)閖AC=0，

jCB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=asinC，

jAB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=csinA .

過A作 ，

法一：證明：建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系，則A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函數(shù)的定義可得：C=(bcos A,bsin A)，以AB、BC為鄰邊作平行四邊形ABCC′，則∠BAC′=π-∠B，

∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B).

根據(jù)向量的運(yùn)算：

=(-acos B,asin B)，

= - =(bcos A-c,bsin A),

(2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A，

又| |=a,

∴a2=b2+c2-2bccos A.

同理：

c2=a2+b2-2abcos C;

b2=a2+c2-2accos B.

,設(shè) 軸、 軸方向上的單位向量分別為 、 ，將上式的兩邊分別與 、 作數(shù)量積，可知

化簡得b2-a2-c2=-2accos B.

這里(1)為射影定理，(2)為正弦定理，(4)為余弦定理.

參考文獻(xiàn)：

【1】孟燕平?抓住特征，靈活轉(zhuǎn)換?數(shù)學(xué)通報(bào)第11期.

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教學(xué)目標(biāo) 1.在探索平行四邊形的判別條件中，理解并掌握用邊、對角線來判定平行四邊形的方法.

引

小明的父親手中有一些木條，他想通過適當(dāng)?shù)臏y量、割剪，釘制一個(gè)平行四邊形框架，你能幫他想出一些辦法來嗎?

利用手中的學(xué)具——硬紙板條，通過觀察、測量、猜想、驗(yàn)證、探索構(gòu)成平行四邊形的條件，思考并探討：

(1)你能適當(dāng)選擇手中的硬紙板條搭建一個(gè)平行四邊形嗎?

(2)你怎樣驗(yàn)證你搭建的四邊形一定是平行四邊形?

(3)你能說出你的做法及其道理嗎?

(4)能否將你的探索結(jié)論作為平行四邊形的一種判別方法?你能用文字語言表述出來嗎?

(5)你還能找出其他方法嗎?

從探究中得到：

平行四邊形判定方法1 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

平行四邊形判定方法2 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

平行四邊形判定方法1 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

平行四邊形判定方法2 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

例、已知：如圖所示，在ABCD中，E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，求證四邊形AECF是平行四邊形.

1、已知：四邊形ABCD中，AD∥BC，要使四邊形ABCD為平行四邊形，

需要增加條件 .(只需填上一個(gè)你認(rèn)為正確的即可).

2、如圖所示，在ABCD中，E,F分別是對角線BD上的兩點(diǎn)，

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（2）學(xué)會(huì)利用進(jìn)行計(jì)算、證明與作圖；

（3）了解有關(guān)的歷史.

2、能力目標(biāo)：

（1）在定理的證明中培養(yǎng)學(xué)生的拼圖能力；

3、情感目標(biāo)：

（1）通過自主學(xué)習(xí)的發(fā)展體驗(yàn)獲取數(shù)學(xué)知識的感受；

（2）通過有關(guān)的歷史講解，對學(xué)生進(jìn)行德育教育．

直角三角形的三邊關(guān)系，除了滿足一般關(guān)系外，還有另外的特殊關(guān)系嗎？

讓學(xué)生用文字語言將上述問題表述出來．

強(qiáng)調(diào)說明：

學(xué)習(xí)完一個(gè)重要知識點(diǎn)，給學(xué)生留有一定的時(shí)間和機(jī)會(huì)，提出問題，然后大家共同分析討論．

方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖1所示的正方形.

方法二:將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖2所示的正方形,

例1 已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝ ，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的長.

例2 如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝ ，D是BC上任一點(diǎn)，

則在Rt△ADE中，

即

又∵AB＝AC，∠BAC＝

即

例4 國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某村六組有四個(gè)村莊A、B、C、D正好位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃在四個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們設(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案，如圖實(shí)線部分．請你幫助計(jì)算一下，哪種架設(shè)方案最省電線．

∴EF＝1－2FH＝1－

∴此圖中總線路的長為4EA+EF＝

∴圖4的連接線路最短，即圖4的架設(shè)方案最省電線．

臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力，如圖，據(jù)氣象觀測，距沿海某城市A的正南方向220千米B處有一臺風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級，每遠(yuǎn)離臺風(fēng)中心20千米，風(fēng)力就會(huì)減弱一級，該臺風(fēng)中心現(xiàn)正以15千米/時(shí)的速度沿北偏東 方向往C移動(dòng)，且臺風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到或走過四級，則稱為受臺風(fēng)影響

（2）若會(huì)受到臺風(fēng)影響，那么臺風(fēng)影響該城市持續(xù)時(shí)間有多少？

（3）該城市受到臺風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級？

∴

由題意知，當(dāng)A點(diǎn)距臺風(fēng)（12－4）20＝160（千米）時(shí)，將會(huì)受到臺風(fēng)影響．

故該城市會(huì)受到這次臺風(fēng)的影響．

（2）由題意知，當(dāng)A點(diǎn)距臺風(fēng)中心不超過60千米時(shí)，

將會(huì)受到臺風(fēng)的影響，則AE＝AF＝160．當(dāng)臺風(fēng)中心從E到F處時(shí)，

∴EF＝2DE＝

（3）當(dāng)臺風(fēng)中心位于D處時(shí)，A城市所受這次臺風(fēng)的風(fēng)力最大，其最大風(fēng)力為 級．

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（一）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課。

問題1：請同學(xué)們欣賞2002年國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)場情景的的圖片，重點(diǎn)抽取會(huì)徽圖案，你能發(fā)現(xiàn)它是有什么圖形構(gòu)成的？（材料附后）

教師展示ppt課件，介紹數(shù)學(xué)家大會(huì)及會(huì)徽“趙爽弦圖”，學(xué)生觀察、發(fā)表意見、聆聽介紹。

【設(shè)計(jì)意圖】以國際數(shù)學(xué)家大會(huì)------“趙爽弦圖”為背景導(dǎo)入新課，提出問題，首先可以激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的好奇心和求知欲，感受我國古代數(shù)學(xué)知識的偉大，進(jìn)行愛國教育，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心；其次讓學(xué)生在觀察、思考、交流的過程中，對勾股定理先有初步的感性認(rèn)識．

問題2：教師板書課題，介紹直角三角形各邊的名稱。提問：你知道哪些勾股定理的知識？

視學(xué)生回答情況確定下步的教學(xué)

方案1：如果學(xué)生能夠說出勾股定理的相關(guān)知識，則直接

進(jìn)入下一環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)。

方案2：如果學(xué)生有困難，則安排學(xué)生自學(xué)教材，再發(fā)表意見。

學(xué)生發(fā)言，教師傾聽。視學(xué)生回答的重點(diǎn)板書：勾三股四弦五等

【設(shè)計(jì)意圖】教師獲得學(xué)生的知識儲備以便以后的教學(xué)定位。再次讓學(xué)生感觸勾股定理的存在、作用即勾股定理是研究直角三角形邊之間的關(guān)系的定理，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)。

（二）觀察演算，合作探究，初具概念

問題3：介紹畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理的故事。利用ppt課件展示畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)和他的探究的過程。提問：這三個(gè)正方形之間的面積有什么關(guān)系？從中可以轉(zhuǎn)化得到等腰直角三角形三邊在數(shù)量上有什么關(guān)系？（故事附后）

教師口述故事，ppt課件同步演示；學(xué)生借助直觀的課件，學(xué)生個(gè)體或?qū)W生間觀察交流探究得到結(jié)論。

【設(shè)計(jì)意圖】首先，故事中代出問題既激發(fā)學(xué)生的興趣又降低了學(xué)生探究的難度，讓每個(gè)學(xué)生都可做，可得；其次得到三個(gè)正方形面積間的關(guān)系而得到等腰直角三角形三邊之間的關(guān)系，由特殊的圖形為研究定理的一般性做好鋪墊；再者學(xué)生初步具有了勾股定理的雛形，即在等腰直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

問題4：畢達(dá)哥拉斯想到：這一結(jié)論是不是所有的直角三角形都具備呢？于是展開了進(jìn)一步的探索。

教師利用ppt課件展示，提出問題；學(xué)生利用《學(xué)習(xí)案》中第1題自己進(jìn)一步探究，交流；猜測驗(yàn)證。（學(xué)習(xí)案附后）

【設(shè)計(jì)意圖】問題更深一層次，調(diào)動(dòng)學(xué)生高漲的探究熱情，同時(shí)有效的滲透了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。

（三）引導(dǎo)實(shí)驗(yàn)，探究論證，形成體系。

問題7：我們已經(jīng)對直角三角形三邊之間關(guān)系有了充分的認(rèn)識。但它的正確性需要數(shù)學(xué)理論做基礎(chǔ)，我國古代數(shù)學(xué)家趙爽就對該命題進(jìn)行了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C。我們剛才欣賞的會(huì)徽就是他的論證方法。下面我們一起進(jìn)行論證。

教師用ppt課件演示拼湊過程，精講強(qiáng)調(diào)面積的無縫、不重疊拼接得到面積相等。

【設(shè)計(jì)意圖】上一環(huán)節(jié)是從數(shù)字上的驗(yàn)證，本環(huán)節(jié)上升到理論層面，以加強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的嚴(yán)謹(jǐn)性。讓學(xué)生學(xué)懂面積法，再次加深對勾股定理的理解。感受我國數(shù)學(xué)知識的悠久歷史，喚起愛國精神，啟發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

問題8：學(xué)生用4個(gè)全等的直角三角形重新拼湊圖形并根據(jù)排放畫出圖形并用面積法進(jìn)行論證。

學(xué)生或小組間進(jìn)行合作實(shí)驗(yàn)，共同協(xié)作探究；教師巡視指導(dǎo)。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生自主探究，再次理解勾股定理，學(xué)會(huì)面積證勾股定理。培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手探究能力，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣；學(xué)會(huì)交流，達(dá)到知識、方法共享，體驗(yàn)合作的樂趣、合作的成功。

問題9：教師選取代表性的拼接方法，全班展示。

【設(shè)計(jì)意圖】共享知識，拓展思路，體會(huì)一題多解，更深層次的了解掌握勾股定理。

（四）歸納提高，鞏固運(yùn)用，形成能力。

問題10：我們這節(jié)課研究的勾股定理是對什么的研究？它側(cè)重是研究直角三角形的什么關(guān)系？以前學(xué)習(xí)直角三角形的哪些知識？

學(xué)生回憶，發(fā)言。教師強(qiáng)調(diào)：勾股定理的前提條件是直角三角形，也就是說其他的三角形是不具備的，但要解決其他三角形的計(jì)算問題，我們要借助輔助線（特別是高線）把它轉(zhuǎn)化為直角三角形。教師板書。

【設(shè)計(jì)意圖】更新知識系統(tǒng)，逐漸完善知識脈絡(luò)，提高分析問題解決問題的能力。

問題11：完成以下練習(xí)題

教材69頁第1題、

學(xué)生獨(dú)立完成；教師巡視指導(dǎo)，板書得數(shù)，介紹勾股數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖】第1題針對勾股定理的直接運(yùn)用。提高學(xué)生對新知識的理解、運(yùn)用。鞏固目標(biāo)。

（五）歸納小結(jié)，反思提高

問題12：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？

學(xué)生談本節(jié)課的學(xué)習(xí)感受，教師梳理、概括本節(jié)課主要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并揭示蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法及評價(jià)學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)對學(xué)生進(jìn)行思想教育。

【設(shè)計(jì)意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生歸納本節(jié)課的知識要點(diǎn)和思想方法，使學(xué)生對直角三角形有一個(gè)整體全面認(rèn)識，同時(shí)感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

布置作業(yè)．教材70頁2、8題。

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一、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識點(diǎn)

1、體驗(yàn)勾股定理的探索過程，由特例猜想勾股定理，再由特例驗(yàn)證勾股定理。

2、會(huì)利用勾股定理解釋生活中的簡單現(xiàn)象。

（二）能力訓(xùn)練要求

1、在學(xué)生充分觀察、歸納、猜想、探索勾股定理的過程中，發(fā)展合情推理能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。

2、在探索勾股定理的過程中，發(fā)展學(xué)生歸納、概括和有條理地表達(dá)活動(dòng)過程及結(jié)論的能力。

（三）情感與價(jià)值觀要求

1、培養(yǎng)學(xué)生積極參與、合作交流的意識。

2、在探索勾股定理的過程中，體驗(yàn)獲得成功的快樂，鍛煉學(xué)生克服困難的勇氣。

二、教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：探索和驗(yàn)證勾股定理。（句怡美 Jym1.COM）

難點(diǎn)：在方格紙上通過計(jì)算面積的方法探索勾股定理。

三、教學(xué)方法

交流探索猜想。

在方格紙上，同學(xué)們通過計(jì)算以直角三角形的三邊為邊長的三個(gè)正方形的面積，在合作交流的過程中，比較這三個(gè)正方形的面積，由此猜想出直角三角形的三邊關(guān)系。

四、教具準(zhǔn)備

1、學(xué)生每人課前準(zhǔn)備若干張方格紙。

2、投影片三張：

第一張：填空（記作1.1.1A）;

第二張：問題串（記作1.1.1B）;

第三張：做一做（記作1.1.1C）。

五、教學(xué)過程

Ⅰ、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課

出示投影片（1.1.1A）

（1）三角形按角分類，可分為_________、_________、_________。

（2）對于一般的三角形來說，判斷它們?nèi)鹊臈l件有哪些？對于直角三角形呢？

（3）有兩個(gè)直角三角形，如果有兩條邊對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形一定全等嗎？

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正弦定理和余弦定理在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用是非常廣泛的。這兩個(gè)定理可以幫助我們解決各種與三角形有關(guān)的問題，如計(jì)算三角形的邊長、角度和面積等。

首先，我們來回顧一下正弦定理的表達(dá)式：

對于一個(gè)三角形ABC，其三個(gè)邊長分別為a、b和c，對應(yīng)的角度分別為A、B和C。根據(jù)正弦定理，我們有以下關(guān)系式：

a/sinA = b/sinB = c/sinC

根據(jù)這個(gè)定理，我們可以解決以下幾類問題：

1.已知三角形的兩個(gè)邊和一個(gè)夾角，求第三邊的長度：

根據(jù)正弦定理，我們可以得出以下公式：

c = (a*sinC)/sinA = (b*sinC)/sinB

通過這個(gè)公式，我們可以計(jì)算出第三邊的長度。

2.已知三角形的三個(gè)邊長，求其中一個(gè)角的大小：

根據(jù)正弦定理，我們可以得到以下公式：

sinA = (a*sinC)/c

通過這個(gè)公式，我們可以計(jì)算出角A的大小。

除了可以計(jì)算三角形的邊長和角度之外，我們還可以利用正弦定理計(jì)算三角形的面積。

三角形的面積可以通過以下公式計(jì)算：

Area = (1/2)*a*b*sinC

通過正弦定理，我們可以得到以下公式：

Area = (1/2)*a*b*sinC = (1/2)*b*c*sinA = (1/2)*c*a*sinB

根據(jù)這個(gè)公式，我們可以計(jì)算出三角形的面積。

接下來，我們來回顧一下余弦定理的表達(dá)式：

對于一個(gè)三角形ABC，其三個(gè)邊長分別為a、b和c，對應(yīng)的角度分別為A、B和C。根據(jù)余弦定理，我們有以下關(guān)系式：

c2 = a2 + b2 - 2ab*cosC

根據(jù)這個(gè)定理，我們可以解決以下幾類問題：

1.已知三角形的兩個(gè)邊和夾角，求第三邊的長度：

根據(jù)余弦定理，我們可以得出以下公式：

c = sqrt(a2 + b2 - 2ab*cosC)

通過這個(gè)公式，我們可以計(jì)算出第三邊的長度。

2.已知三角形的三個(gè)邊長，求其中一個(gè)角的大小：

根據(jù)余弦定理，我們可以得到以下公式：

cosC = (a2 + b2 - c2)/(2ab)

通過這個(gè)公式，我們可以計(jì)算出角C的大小。

余弦定理還可以幫助我們判斷三角形的類型。例如，如果一個(gè)三角形的三個(gè)邊長分別為a、b和c，那么：

如果c2 如果c2 = a2 + b2，該三角形為直角三角形；

如果c2 > a2 + b2，該三角形為鈍角三角形。

在教學(xué)過程中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生對于正弦定理和余弦定理的應(yīng)用有些困難。一方面，學(xué)生往往會(huì)忽略角度的單位，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤。另一方面，學(xué)生在解題時(shí)沒有很好地理解定理的應(yīng)用場景，導(dǎo)致無法正確地運(yùn)用公式。

為了解決這些問題，我采取了以下教學(xué)策略：

1.強(qiáng)調(diào)角度單位的重要性：

在教學(xué)過程中，我會(huì)提醒學(xué)生在計(jì)算中要注意角度的單位，并給予具體的示范。例如，我會(huì)告訴學(xué)生在計(jì)算時(shí)要將度數(shù)轉(zhuǎn)換為弧度，以確保結(jié)果的準(zhǔn)確性。

2.以實(shí)際問題為背景進(jìn)行教學(xué)：

為了幫助學(xué)生更好地理解定理的應(yīng)用場景，我會(huì)將問題設(shè)置在實(shí)際生活中，如測量房屋的高度、計(jì)算三角形地面上的面積等。通過這種方式，學(xué)生能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)概念與實(shí)際問題進(jìn)行聯(lián)系，提高他們的學(xué)習(xí)興趣。

3.提供多種解題方法：

在教學(xué)過程中，我會(huì)向?qū)W生介紹不同的解題方法，以便他們選擇最適合自己的方法。有些學(xué)生可能更喜歡使用正弦定理進(jìn)行計(jì)算，而另一些學(xué)生則更習(xí)慣使用余弦定理。我鼓勵(lì)學(xué)生嘗試不同的方法，并選擇最適合自己的解題方式。

通過以上的教學(xué)策略，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生對于正弦定理和余弦定理的應(yīng)用有了更深入的理解。他們能夠熟練地運(yùn)用這兩個(gè)定理解決各種與三角形有關(guān)的問題，并在解題過程中提出自己的思考和見解。這為他們進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

? 余弦定理課件 ?

高中數(shù)學(xué)余弦定理

[教學(xué)設(shè)計(jì)說明]

一、教案說明：

在進(jìn)入21世紀(jì)的當(dāng)前，教育正在由應(yīng)試教育向素質(zhì)教育轉(zhuǎn)變，實(shí)施素質(zhì)教育就要求每位教師加強(qiáng)素質(zhì)教育課堂教學(xué)模式和教學(xué)策略的研究，這是歷史賦予我們這一代教育工作者的重任，也是一種機(jī)遇和挑戰(zhàn)。

《余弦定理》一課教學(xué)模式和策略設(shè)計(jì)就是想讓素質(zhì)教育如何落實(shí)在課堂教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)上進(jìn)行一些探索和研究。旨在通過學(xué)生自己的思維活動(dòng)獲取數(shù)學(xué)知識，提高學(xué)生基礎(chǔ)性學(xué)力(基礎(chǔ)能力)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)展性學(xué)力(培養(yǎng)終身學(xué)習(xí)能力)，誘發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性學(xué)力(提高應(yīng)用能力)，最終達(dá)到素質(zhì)教育目的。為此，我在設(shè)計(jì)這節(jié)課時(shí)，采用開放式課堂教學(xué)模式，以學(xué)生參與為主，教師啟發(fā)、點(diǎn)撥的課堂教學(xué)策略。

開放式教學(xué)模式是充分建立在學(xué)生學(xué)習(xí)過程認(rèn)識上的一種模式，其充分注重“人”的學(xué)習(xí)心理，通過設(shè)置開放性問題，問題的層次性推進(jìn)和教師啟發(fā)、點(diǎn)撥發(fā)展學(xué)生有效思維，提高數(shù)學(xué)能力，達(dá)到上述三種學(xué)力的提高、培養(yǎng)和誘發(fā)。以學(xué)生參與為主，教師啟發(fā)、點(diǎn)撥教學(xué)策略是體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本的現(xiàn)代教育觀，在開放式討論過程中，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力，發(fā)展學(xué)生的各種數(shù)學(xué)需要，使其獲得終身受用的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力和創(chuàng)造才能。

根據(jù)上述的體會(huì)、想法，我在余弦定理第一節(jié)教學(xué)課的設(shè)計(jì)上進(jìn)行一些探索，用圖解說明如下：

二、教學(xué)目標(biāo)：

1．掌握余弦定理及其多種推導(dǎo)過程。

2．通過一題多解，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，提高數(shù)學(xué)交流能力。3．綜合運(yùn)用正弦定理和余弦定理解決有關(guān)的實(shí)際問題。

三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)是余弦定理的推導(dǎo)及其應(yīng)用。難點(diǎn)是綜合運(yùn)用正弦定理和余弦定理解決有關(guān)解斜三角形的應(yīng)用題。[教學(xué)過程]

一、借助直觀，激發(fā)興趣，提出問題。

問題一：判別給出的四個(gè)三角形模型的形狀(不用測角工具)。

學(xué)生在回答過程中發(fā)現(xiàn)，有些三角形是很難憑自己經(jīng)驗(yàn)知識和直觀感覺就能做出判斷。顯然，我們可測出三角形的三邊長，這個(gè)問題就可歸納到這樣的問題：已知三角形三邊長，求三個(gè)角(只需求最大角)大小問題。

二、學(xué)生思考，小組交流，解決問題。

問題二：在ΔABC中，已知a=7，b=5，c=3，求最大角。

學(xué)生不同的解法簡錄：

方法一(方程思想)：如圖，BC2=CD2+BD2

即a2=：(b-ccosA)2十(csinA)2

方法二(解析法)：如圖建立直角坐標(biāo)系，B(ccosA，csinA)C(b，0)，由│BC│=a可得。

方法三(三角法)：如圖，設(shè)∠CAD=α,∠BAD=β AD=x, CD=y，則c2-(a-y)2=b2-y2，2ay：b2+a2-c2，X2+y2=b2

cosA：COS(a十β)：COSaCOSβ—sinasinβ

教師巡視，啟發(fā)點(diǎn)撥學(xué)生參與一題多解解法探求，組成四人小組交流發(fā)言，形成開放性求解研究的趣味，結(jié)果發(fā)現(xiàn)學(xué)生有三種不同的解法。有利于發(fā)展學(xué)生思維的廣闊性，優(yōu)化學(xué)生思維的品質(zhì)，提高數(shù)學(xué)交流能力。

三、讓學(xué)生在實(shí)踐中歸納整理得到余弦定理。歸納得：

并把這些數(shù)學(xué)表達(dá)式敘述成數(shù)學(xué)語言。

讓學(xué)生掌握由特殊到一般，類比、抽象和歸納等數(shù)學(xué)思想方法，并探求出一般結(jié)論——余弦定理。

四、使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)源于實(shí)踐，服務(wù)實(shí)踐。

問題三：如何用余弦定理判別△ABC形狀(已知三邊長a、b、c)。

解:不妨設(shè)a

a2十b2>，c2<=> △ABC為銳角三角形，a2十b2=c2<=>ABC為直角三角形，a2十b2ABC為鈍角三角形。解決開始提出的問題，使學(xué)生認(rèn)識到，通過自己主動(dòng)參與而能自行獲取數(shù)學(xué)知識，并能學(xué)到攝取知識的數(shù)學(xué)思想方法，逐步形成發(fā)現(xiàn)、研究、解決問題的方法，誘發(fā)創(chuàng)造才能。

問題四：請你設(shè)計(jì)一種方法，在河的一側(cè)測量出對岸某兩點(diǎn)間距離(工具有尺和測角器)。

學(xué)生方案實(shí)錄：

方案一：如圖一，在A、B所在對岸取點(diǎn)C，使A、B、C三點(diǎn)共線，再測出∠ACD=90°，CD=a，∠CDA=α，∠CDB=α，即可求AB=a(tgβ—tgα)方案二：如圖二，在A、B所在對岸取三點(diǎn)P、C、D，測出∠APC=∠BPD=90°，PC=a，PD=b，∠APB=θ，∠ACP=α，∠PDB=β，則AP=atgα，BP=btgβ，再由余弦定理可求得AB長。方案三：如圖三，在A、B所在對岸取C、D兩點(diǎn)，測出∠BCD=α，∠CDB=β，CD=a，由正弦定理得再測出∠ACD=Φ ,∠ADC=θ，由正弦定理得 在△ABD中, 再由余弦定理求得AB=√AD2+BD2-2AD.BDcos(β-θ)以四人小組展開討論、交流，教師巡視、啟發(fā)、點(diǎn)撥，最終出現(xiàn)三種解決問題的方法。通過開放性應(yīng)用數(shù)學(xué)問題的解決，讓學(xué)生思維得到升華，并在問題解決中感悟到探索價(jià)值，發(fā)展創(chuàng)造性思維。

五、小結(jié)。

增強(qiáng)學(xué)生記憶，加深理解，發(fā)展思維，培養(yǎng)數(shù)學(xué)交流能力。在教師啟發(fā)、點(diǎn)撥下，讓學(xué)生參與完成小結(jié)。1．掌握余弦定理表達(dá)式、各種變形表達(dá)式及語言敘述。2．余弦定理適用范圍，重視正、余弦定理的綜合應(yīng)用。

? 余弦定理課件 ?

用余弦定理證明

由正弦定理得cSinB=bSinC

帶入給定的式子得

SinC=SinB(1+2CosA)①

C+A+B=π②

將②帶入①得

Sin(π-A-B)=SinB+2SinBcosA

SinAcosB+SinBcosA=SinB+2SinBcosA

SinAcosB=SinB+SinBcosA

Sin(A-B)=SinB

所以A-B=B或∏-(A-B)=B(舍)

所以A=2B

2

在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b

則c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

a^2=b^2+c^2-2bc*cosA

b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

下面在銳角△中證明第一個(gè)等式，在鈍角△中證明以此類推。

過A作AD⊥BC于D，則BD+CD=a

由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2

所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2

=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2

=a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2

=a^2+b^2-2a*CD

因?yàn)閏osC=CD/b

所以CD=b*cosC

所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

題目中^2表示平方。

2

談?wù)⒂嘞叶ɡ淼亩喾N證法

聊城二中 魏清泉

正、余弦定理是解三角形強(qiáng)有力的工具，關(guān)于這兩個(gè)定理有好幾種不同的證明方法。人教A版教材《數(shù)學(xué)》(必修5)是用向量的數(shù)量積給出證明的，如是在證明正弦定理時(shí)用到作輔助單位向量并對向量的等式作同一向量的數(shù)量積，這種構(gòu)思方法過于獨(dú)特，不易被初學(xué)者接受。本文試圖通過運(yùn)用多種方法證明正、余弦定理從而進(jìn)一步理解正、余弦定理，進(jìn)一步體會(huì)向量的巧妙應(yīng)用和數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合。

定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,則

(1)(正弦定理) = = ;

(2)(余弦定理)

c2=a2+b2-2abcos C,

b2=a2+c2-2accos B,

a2=b2+c2-2bccos A.

一、正弦定理的'證明

證法一：如圖1，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的三條高。則有

AD=bsin∠BCA，

BE=csin∠CAB，

CF=asin∠ABC。

所以S△ABC=abcsin∠BCA

=bcsin∠CAB

=casin∠ABC.

證法二：如圖1，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的3條高。則有

AD=bsin∠BCA=csin∠ABC，

BE=asin∠BCA=csin∠CAB。

證法三：如圖2，設(shè)CD=2r是△ABC的外接圓

的直徑，則∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

證法四：如圖3，設(shè)單位向量j與向量AC垂直。

因?yàn)锳B=AC+CB，

所以jAB=j(AC+CB)=jAC+jCB.

因?yàn)閖AC=0，

jCB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=asinC，

jAB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=csinA .

二、余弦定理的證明

法一：在△ABC中，已知 ，求c。

過A作 ，

在Rt 中， ，

法二：

，即：

法三：

先證明如下等式：

⑴

證明：

故⑴式成立，再由正弦定理變形，得

結(jié)合⑴、 有

即 .

同理可證

.

三、正余弦定理的統(tǒng)一證明

法一：證明：建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系，則A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函數(shù)的定義可得：C=(bcos A,bsin A)，以AB、BC為鄰邊作平行四邊形ABCC′，則∠BAC′=π-∠B，

∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B).

根據(jù)向量的運(yùn)算：

=(-acos B,asin B)，

= - =(bcos A-c,bsin A),

(1)由 = ：得

【讀書筆記吧】高能預(yù)警:
• 勾股定理課件?|?數(shù)學(xué)定理教案?|?微分中值定理證明?|?勾股定理教案?|?余弦定理課件?|?余弦定理課件

asin B=bsin A,即

= .

同理可得： = .

∴ = = .

(2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A，

又| |=a,

∴a2=b2+c2-2bccos A.

同理：

c2=a2+b2-2abcos C;

b2=a2+c2-2accos B.

法二：如圖5，

,設(shè) 軸、 軸方向上的單位向量分別為 、 ，將上式的兩邊分別與 、 作數(shù)量積，可知

，

即

將(1)式改寫為

化簡得b2-a2-c2=-2accos B.

即b2=a2+c2-2accos B.(4)

這里(1)為射影定理，(2)為正弦定理，(4)為余弦定理。

參考文獻(xiàn)：

【1】孟燕平？抓住特征，靈活轉(zhuǎn)換？數(shù)學(xué)通報(bào)20第11期。

【2】《中學(xué)生數(shù)學(xué)》(上)203月上

【3】《數(shù)學(xué)(必修5)》人民教育出版社

? 余弦定理課件 ?

各位評委老師，下午好！今天我說課的題目是余弦定理，說課的內(nèi)容為余弦定理第二課時(shí)，下面我將從說教材、說學(xué)情、說教法和學(xué)法、說教學(xué)過程、說板書設(shè)計(jì)這四個(gè)方面來對本課進(jìn)行詳細(xì)說明：

《余弦定理》是必修5第一章《解三角形》的第一節(jié)內(nèi)容，前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦定理以及必修4中的任意角、誘導(dǎo)公式以及恒等變換，為后面學(xué)習(xí)三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ)，因此本節(jié)課有承上啟下的作用。本節(jié)課是解決有關(guān)斜三角形問題以及應(yīng)用問題的一個(gè)重要定理，它將三角形的邊和角有機(jī)地聯(lián)系起來，實(shí)現(xiàn)了“邊”與“角”的互化，從而使“三角”與“幾何”產(chǎn)生聯(lián)系，為求與三角形有關(guān)的量提供了理論依據(jù)，同時(shí)也為判斷三角形形狀，證明三角形中的有關(guān)等式提供了重要依據(jù)。

根據(jù)上述教材內(nèi)容分析以及新課程標(biāo)準(zhǔn)，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，心理特征及原有知識水平，我將本課的教學(xué)目標(biāo)定為：

在探究學(xué)習(xí)的過程中，認(rèn)識到余弦定理可以解決某些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題，幫助學(xué)生提高運(yùn)用有關(guān)知識解決實(shí)際問題的能力。

⒊情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識；在運(yùn)用余弦定理的過程中，讓學(xué)生逐步養(yǎng)成實(shí)事求是，扎實(shí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)的思維方式解決問題，認(rèn)識世界；通過本節(jié)的運(yùn)用實(shí)踐，體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值，應(yīng)用價(jià)值；

教學(xué)重點(diǎn)是：運(yùn)用余弦定理探求任意三角形的邊角關(guān)系，解決與之有關(guān)的計(jì)算問題，運(yùn)用余弦定理解決一些與測量以及幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題。

教學(xué)關(guān)鍵是：熟練掌握并靈活應(yīng)用余弦定理解決相關(guān)的實(shí)際問題。

下面為了講清重點(diǎn)、難點(diǎn)，使學(xué)生能達(dá)到本節(jié)設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)，我再從教法和學(xué)法上談?wù)劊?/p>

從知識層面上看，高中學(xué)生通過前一節(jié)課的學(xué)習(xí)已經(jīng)掌握了余弦定理及其推導(dǎo)過程；從能力層面上看，學(xué)生初步掌握運(yùn)用余弦定理解決一些簡單的斜三角形問題的技能；從情感層面上看，學(xué)生對教學(xué)新內(nèi)容的學(xué)習(xí)有相當(dāng)?shù)呐d趣和積極性，但在探究問題的能力以及合作交流等方面的發(fā)展不夠均衡。

貫徹的指導(dǎo)思想是把“學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生”,倡導(dǎo)“自主、合作、探究”的學(xué)習(xí)方式。讓學(xué)生自主探索學(xué)會(huì)分析問題，解決問題。

下面為了完成教學(xué)目標(biāo)，解決教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)，課堂教學(xué)我準(zhǔn)備按以下五個(gè)環(huán)節(jié)展開：

由于本節(jié)課是余弦定理的第一課時(shí)，因此先領(lǐng)著學(xué)生回顧復(fù)習(xí)上節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，采用提問的方式，找同學(xué)回答余弦定理的內(nèi)容及公式，并且讓學(xué)生回想公式推導(dǎo)的思路和方法，這樣一來可以檢驗(yàn)學(xué)生對所學(xué)知識的掌握情況，二來也為新課作準(zhǔn)備。

△ABC的頂點(diǎn)為A（6,5），B（-2,8）和C（4,1），求（精確到）。

已知三點(diǎn)A（1,3），B（-2,2），C（0,-3），求△ABC各內(nèi)角的大小。

通過利用余弦定理解斜三角形的思想，來對這兩道例題進(jìn)行分析和講解；本環(huán)節(jié)的目的.在于通過典型例題的解答，鞏固學(xué)生所學(xué)的知識，進(jìn)一步深化對于余弦定理的認(rèn)識和理解，提高學(xué)生的理解能力和解題計(jì)算能力。

在本環(huán)節(jié)中，我將找學(xué)生到黑板做題，期間巡視下面同學(xué)的做題情況，加以糾正和講解；通過解決書后練習(xí)題，鞏固學(xué)生當(dāng)堂所學(xué)知識，同時(shí)教師也可以及時(shí)了解學(xué)生的掌握情況，以便及時(shí)調(diào)整自己的教學(xué)步調(diào)。

在本環(huán)節(jié)中，我將采用師生共同總結(jié)-交流-完善的方式，首先讓學(xué)生自己總結(jié)出余弦定理可以解決哪些類型的問題，再由師生共同完善，總結(jié)出余弦定理可以解決的兩類問題：⑴已知三邊，求各角；⑵已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角。本環(huán)節(jié)的目的在于引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)自己總結(jié)；讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)知識的形成、發(fā)展、完善的過程。

基于因材施教的原則，在根據(jù)不同層次的學(xué)生情況，把作業(yè)分為必做題和選做題，必做題要求所有學(xué)生全部完成，選做題要求學(xué)有余力的學(xué)生完成，使不同程度的學(xué)生都有所提高。本環(huán)節(jié)的目的是讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固和深化所學(xué)的知識，培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力。

在本節(jié)課中我將采用提綱式的板書設(shè)計(jì)，因?yàn)樘峋V式-條理清楚、從屬關(guān)系分明，給人以清晰完整的印象，便于學(xué)生對教材內(nèi)容和知識體系的理解和記憶。

? 余弦定理課件 ?

余弦定理（第一課時(shí)）

一、課例與分評

（一）教學(xué)目標(biāo)

1．使學(xué)生掌握余弦定理，并會(huì)初步運(yùn)用余弦定理解斜三角形；

2．使學(xué)生理解用坐標(biāo)法證明余弦定理的過程，逐步學(xué)會(huì)用坐標(biāo)法解決具體問題；

3．通過啟發(fā)、誘導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和證明余弦定理的過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、猜想、抽象、概括等邏輯思維能力；

4．通過發(fā)現(xiàn)教學(xué)法，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和熱愛科學(xué)、獻(xiàn)身科學(xué)、勇于創(chuàng)新的精神。

[ 點(diǎn)評：知識目標(biāo)分級詳細(xì)、適當(dāng)，能力目標(biāo)和德育目標(biāo)具體，并且有很強(qiáng)的針對性，這是上好一節(jié)課的前提條件 ]

（二）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：余弦定理及其發(fā)現(xiàn)和證明。

難點(diǎn)：余弦定理的證明。

關(guān)鍵：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系。

（三）教具

三角板，投影儀，投影片1、2

[ 點(diǎn)評：重點(diǎn)、難點(diǎn)、關(guān)鍵抓得準(zhǔn)，才能在教學(xué)過程中采取有效的措施，突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo) ]

（四）教學(xué)過程

1．復(fù)習(xí)提問

T（師，下同）：敘述任意角的三角函數(shù)的定義。（在黑板上作圖1）

S（生，下同）：sin??yr , cos?xr , tg??yx , ctg??xy , sec??yr , cse??ry ，它們分別叫做角 的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函數(shù)。

2．發(fā)現(xiàn)

T：請同學(xué)們考慮并回答下面的問題：

在直角三角形中，已知兩個(gè)銳角和三邊共五個(gè)元素中的幾個(gè)怎樣的元素，可求其余元素？

S：兩個(gè)元素。

T：是否有不同的意見和補(bǔ)充？

S1：其中至少有一邊。

T：好！在這樣的條件下，其余元素均可求，這時(shí)直角三角形是確定的，那么，在斜三角形中三個(gè)角和三邊共六個(gè)元素，已知幾個(gè)怎樣的元素可確定這個(gè)三角形？

[ 點(diǎn)評：由于現(xiàn)在學(xué)生還不會(huì)求斜三角形的其余元素，因而說確定這個(gè)三角形是恰當(dāng)?shù)模梢姡陶邔τ诮虒W(xué)語言是進(jìn)行了仔細(xì)斟酌的，這對于一名青年教師來說是難能可貴的。]

S2：三個(gè)，其中至少有一邊。

T：已知兩邊一夾角，三角形能否確定？說明理由。（在黑板上作圖2）

S3：能，根據(jù)三角形全等的SAS的判定定理。

T：既然在這樣的條件下三角形是確定的，那么，其余元素，比如第三邊與已知的兩邊

一夾角一定存在著某種必然的聯(lián)系，讓我們從特殊的三角形——直角三角形入手，來研究這個(gè)問題（出示投影片1）

T：問題1如果已知a、b怎樣求斜邊c？

S：勾股定理：c2?a2?b（*）

T：問題2 若已知b、c及∠A，怎樣用它們表示直角邊 ？

S：（困惑，期待）

T：受（*）式啟發(fā)，a與b、c之間仍然存在著“平方和”關(guān)系：

a2?c2?b2構(gòu)造平方和 a2?c2?b2?2b2引入角A a2?c2?b2?2bcosB ①

T：想一想，若已知a、c及∠B，怎樣用其表示b？

S：b2?a2?b2?2bccosB

②

T：能否將（*）式也寫成①、②的形式？

S：能c2?a2?b2?2abcosC

③

T：太好了！顯然①、②、③三個(gè)等式的結(jié)構(gòu)相同，這是巧合嗎？（稍停，語氣加重地）不，這是我們發(fā)現(xiàn)的一個(gè)客觀規(guī)律！

S：（驚奇轉(zhuǎn)而興奮）

[ 點(diǎn)評：教師恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥：構(gòu)造平方和、引入角A，頓時(shí)起到峰回路轉(zhuǎn)、柳暗花明的作用，怎能不引起學(xué)生的共鳴！一節(jié)好課應(yīng)當(dāng)像一首樂曲一樣，高潮迭起，課進(jìn)行到這里進(jìn)入了第一個(gè)高潮。“我們的發(fā)現(xiàn)”更震憾著學(xué)生的心靈，把學(xué)生的注意力牢牢地吸引住了。]

T：你能否用方案語言敘述這一規(guī)律？

S3：直角 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和，減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的2倍。

[ 點(diǎn)評：這是為學(xué)生深刻理解和掌握余弦定理所做的必要的鋪墊。]

T：很好！得出了這一規(guī)律以后，你想到了什么？

S：它在余三角形中是否也成立。

T：太棒了！我非常高興地告訴大家，你們的這個(gè)猜想是正確的，這就是我們這節(jié)課學(xué)習(xí)的重要定理——余弦定理（板書課題）

[ 點(diǎn)評：根據(jù)勾股定理和余弦定理的關(guān)系，反余弦定理的引入處理成在直角三角形中的“發(fā)現(xiàn)”過程，并用恰當(dāng)?shù)恼Z言激勵(lì)學(xué)生合理猜 想，有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和創(chuàng)造能力。] 3．證明

T：下面我們來證明余弦定理，余弦定理的證明有多種方法，你能想到哪些方法？

S4：作一個(gè)已知邊的高，利用直角三角形證明。

S5：在直角坐標(biāo)系中證明

T：對于S4的方法，若三角形是銳角三角形，則任意邊的高均在三角形內(nèi)，而三角形是鈍角三角形（在黑板上作出圖2），則夾鈍角的兩邊上的高均在三角形外，因而需要討論這兩種情況，同學(xué)們可在課后一試，對S5的方法，我們?yōu)樽鴺?biāo)法，它是處理幾何問題的一種常用的重要方法，下面我們用坐標(biāo)法來證明余弦定理，想一想，用坐標(biāo)法證明，你應(yīng)該先做什么？

[ 點(diǎn)評：教師指出了余弦定理證明方法有多種，而學(xué)生只想到了兩種，教師就此加以點(diǎn)撥，并沒有追求其他證法，可謂把握有度，突出了重點(diǎn)。]

S：建立直角坐標(biāo)系

T：你怎樣建立直角坐標(biāo)系？為什么？

S6：以頂點(diǎn)A為原點(diǎn)，射線AC為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，好像前面一些三角公式的推導(dǎo)，也是這樣建立直角坐標(biāo)系的。

T：對，其實(shí)這樣建立直角坐標(biāo)系，可使A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)容易表示，為下面的證明帶來方便，（在圖2中建立直角坐標(biāo)系變?yōu)閳D3），請你指出A、B、C各點(diǎn)的坐標(biāo)。

S7：A(0 , 0)B(ccossA , csinA)C(b , 0)

T：很好!你能否證明下去？（指向圖3）

[ 點(diǎn)評：教師通過自然語言和形態(tài)語言的啟發(fā)，使學(xué)生豁然開朗，看到了勝利的曙光，也預(yù)示著又一個(gè)高潮的到來。]

S7：由兩點(diǎn)的距離公式有 a?|BC|? ? ?c(cos22(cosA?b)?(csinA)222A?sin2A)?b?2bccos

2b?c?2bccosA

2兩邊平方，得a2?b2?c2?2bccosA

T：這就是等式①，若分別以B、C為原點(diǎn)建立相應(yīng)的直坐標(biāo)系（出示投影片2），則會(huì)得出怎樣的等式？

S：b?a?c?2accosB

c?a?b?2abcosC

T：以上兩個(gè)等式分別為等式②和③，于此，我們證明了等式①②③在斜三角形中也成立，即余弦定理得到了證明，（用彩筆將等式①②③框起來）請你用文字語言敘述余弦定理。

S：（任意）三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和，減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的2倍。

[ 點(diǎn)評：前面已經(jīng)概括了直角三角形中的全系統(tǒng)定理，這里產(chǎn)東只是對它的推廣，更不是對它的簡單的重復(fù)，而是對它的強(qiáng)化，這是十分必要的。]

4．剖析

T：請問，勾股定理與余弦定理有什么關(guān)系？

S9：勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣。

T：余弦定理共有三個(gè)等式，每個(gè)等式都有同一個(gè)三角形中的四個(gè)元素，那么余弦定理的作用是什么？

S10：已知三角形中的三個(gè)元素，可用余弦定理求其余元素。T：是否有不同的意見？

S11：三個(gè)元素中至少有一邊（點(diǎn)評者注：這時(shí)三角形是確定，但不一定能用余弦定理222222解決）

S12：不對，三元素中至少有兩邊。T：還有嗎？

S13：已知三個(gè)元素應(yīng)是兩邊夾一角，或三邊

S14：已知兩邊和一邊對角應(yīng)該也能用余弦定理求出其他元素。T：為什么？ S14：??

T：S14的見解是否正確還不得而知，但是很有價(jià)值，我們以后會(huì)研究這個(gè)問題。S13說出了余弦定理的兩種不同情況的用途，那么已知三邊如何求角？

cosA?b?c?a2bca?b?c2ab222222 ,cosB?a?c?b2ac0222 ,S15：用cosC?

(或 C?180?A?B)T：這是余弦定理的三個(gè)變形，與余弦定理的三個(gè)等式同樣的重要。

[ 點(diǎn)評：教師恰到好處的啟發(fā)，把課堂氣氛又推向了一個(gè)新的設(shè)法通過學(xué)生的發(fā)言、爭論，剖析了余弦定理中各個(gè)元素之間的內(nèi)在聯(lián)系與制約關(guān)系，辯明了余弦定理的用途這是對所學(xué)余弦定理的學(xué)化，是培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力的重要途徑，同時(shí)，也觸及了更深刻的S14所提出的問題，課后思考題的提出也在情理之中了。] 5．應(yīng)用

T：請看投影屏幕，應(yīng)用余弦定理解決幾個(gè)問題，計(jì)算時(shí)可以用計(jì)算器。

[ 顯示 ]：（1）在 ABC中：

（i）已知b=8,c=3,A=600,求a；

（ii）已知a=9 , b=10 , c=15 ,求A；

（iii）已知a=20, b=29 , c=21 , 求B；

（2）已知ABC中，已知a=2 , b=3?1C?300求c及A、B S16:（i）a=7,（ii）900，（iii）35 35 S17：c?2 ,A?45, B?105

000/6．小結(jié)

T：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了一個(gè)非常重要的定理——余弦定理。

（1）請同學(xué)們掌握余弦定理，會(huì)熟練地運(yùn)用它解決已知三角形兩邊夾一角和三角形三邊求其余的邊和角的問題。

（2）我們用坐標(biāo)法證明了余弦定理，請同學(xué)們要理解這個(gè)證明過程，要逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用坐標(biāo)法。

（3）我們運(yùn)用了由特殊到一般的方法，“發(fā)現(xiàn)”了余弦定理，這種方法是人們認(rèn)識客觀世界的一種原方法，也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要方法之一，我們要逐步學(xué)會(huì)善于運(yùn)用這各方法去探索數(shù)學(xué)問題，提高我們的創(chuàng)造能力。

[ 點(diǎn)評：教學(xué)過程中已把教學(xué)目標(biāo)落到了實(shí)處，小結(jié)又緊扣教學(xué)目標(biāo)，與教學(xué)過程遙相呼應(yīng)，使教學(xué)目標(biāo)深入人心，可稱得上是“點(diǎn)睛”之筆。] 7．作業(yè)

（1）課后研究題：已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，能不利用余弦定理求出其余的邊和角？給出一個(gè)令你自己滿意的結(jié)論。

（2）略

[ 點(diǎn)評：好一個(gè)“給出一個(gè)令你自己滿意的結(jié)論”！雖然學(xué)生的教學(xué)水平和能力存在著判別，但是，每個(gè)人都能夠力所能及地獲得“令你自己滿意的結(jié)論”，這正符合素質(zhì)教育的要求，設(shè)置這樣一個(gè)開放的問題，不僅能夠激發(fā)學(xué)生為解開這個(gè)懸念之謎而探索、求知的熱情，從而，最大限度地開發(fā)每個(gè)學(xué)生的潛能和才智，而且能夠使學(xué)生在探索的過程 鞏固所學(xué)知識，也為下一節(jié)課埋下了一個(gè)伏筆（定義解斜三角形和靈活應(yīng)用余弦定理），可謂一舉多得。]

二、總評

1．教學(xué)設(shè)計(jì)思路清新、引人入勝

“發(fā)現(xiàn)法”是常用的一種教學(xué)方法，然而，用“發(fā)現(xiàn)法”設(shè)計(jì)“余弦定理”一課者，并不多見，本課從直角三角形出發(fā)，以歸納——猜想——證明——應(yīng)用為線索，通過提問、啟發(fā)和點(diǎn)撥，把規(guī)律和方法以生動(dòng)、活潑的形式展現(xiàn)在學(xué)生面前，而展現(xiàn)的過程入情入理，自然流暢，引人入勝，強(qiáng)烈地感染著學(xué)生積極主動(dòng)地獲取知識，使學(xué)生的主體地位得到了充分的發(fā)揮。

2．課堂教學(xué)氣氛活躍，高潮迭起

本課充分體現(xiàn)了“民主教學(xué)思想”，教師不主觀、不武斷、不包辦，以祥和、平等的態(tài)度啟發(fā)學(xué)生，讓學(xué)生充分發(fā)表意見，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人，因而，人人都開動(dòng)腦筋，積極思考，發(fā)言踴躍、歸納、猜想是師生共同合作的結(jié)晶，從而有了“我們的發(fā)現(xiàn)”，而“我們的發(fā)現(xiàn)”又使學(xué)生聯(lián)（猜）想，“它在斜三角形中是否成立？”至此，余弦定理呼之欲出！余弦定理的證明和剖析，也是在教師的點(diǎn)撥下完成的，并且通過爭論，辨明了余弦定理的作用，其間，有困惑、期待，有興奮、有驚奇，時(shí)而山窮水盡，時(shí)而柳暗花明，課堂氣氛高潮迭起，扣人心弦。

3．教學(xué)目標(biāo)貫徹到位，把握有度

教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)、立足點(diǎn)和歸宿，教者較準(zhǔn)確地確定了教學(xué)目標(biāo)，并圍繞教學(xué)目標(biāo)實(shí)施教學(xué)過程，突出了對學(xué)生綜合素質(zhì)的培養(yǎng)，從余弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明到應(yīng)用的過程中，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生眼、耳、腦、手等各個(gè)器官積極協(xié)調(diào)作用，對于教師、黑板、投影屏幕等傳遞來的知識住處和智能信息，進(jìn)行積極、有效地加工處理，形成了新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使學(xué)生的觀察、識別、分析、歸納、猜想、抽象、概括等思維能力得到了鍛煉和提高，基本達(dá)到了實(shí)現(xiàn)了情感目標(biāo)，對于余弦定理的證明，教者并沒有刻意去追求“多法”，而是著眼于教學(xué)目標(biāo)，突出了重點(diǎn)，課后研究題的提出盡在情理之中，對于學(xué)生研究結(jié)果的要求也頗有新意，人人都會(huì)有“令你自己滿意”的研究成果，這不僅能夠不同程度地開發(fā)學(xué)生的潛能，又使教學(xué)內(nèi)容得以鞏固和延伸，綜上所述，本課教學(xué)目標(biāo)貫徹到位，把握得恰到好處。

這是寧波市特級教師帶徒活動(dòng)的一節(jié)學(xué)員學(xué)習(xí)匯報(bào)課實(shí)錄（略有改動(dòng)），雖然課堂實(shí)踐中尚有欠缺，但仍有許多可圈點(diǎn)之處，不失為一堂好課，受到了專家們的好評。

摘自[中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考]2000-3

? 余弦定理課件 ?

例1（P83例2）讓學(xué)生養(yǎng)成利用勾股定理的逆定理解決實(shí)際問題的意識。

例2（補(bǔ)充）培養(yǎng)學(xué)生利用方程思想解決問題，進(jìn)一步養(yǎng)成利用勾股定理的逆定理解決實(shí)際問題的意識。

創(chuàng)設(shè)情境：在軍事和航海上經(jīng)常要確定方向和位置，從而使用一些數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法。

⑵依題意畫出圖形；

⑶依題意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24，QR=30；

⑷因?yàn)?42+182=302，PQ2+PR2=QR2，根據(jù)勾股定理的逆定理，知∠QPR=90°；

⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。

小結(jié)：讓學(xué)生養(yǎng)成“已知三邊求角，利用勾股定理的逆定理”的意識。

例2（補(bǔ)充）一根30米長的細(xì)繩折成3段，圍成一個(gè)三角形，其中一條邊的長度比較短邊長7米，比較長邊短1米，請你試判斷這個(gè)三角形的形狀。

分析：⑴若判斷三角形的形狀，先求三角形的三邊長；

⑵設(shè)未知數(shù)列方程，求出三角形的三邊長5、12、13；

⑶根據(jù)勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形為直角三角形。

1。小強(qiáng)在操場上向東走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小強(qiáng)在操場上向東走了80m后，又走60m的方向是。

2。如圖，在操場上豎直立著一根長為2米的測影竿，早晨測得它的影長為4米，中午測得它的影長為1米，則A、B、C三點(diǎn)能否構(gòu)成直角三角形？為什么？

3。如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進(jìn)入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個(gè)基地前去攔截，六分鐘后同時(shí)到達(dá)C地將其攔截。已知甲巡邏艇每小時(shí)航行120海里，乙巡邏艇每小時(shí)航行50海里，航向?yàn)楸逼?0°，問：甲巡邏艇的航向

? 余弦定理課件 ?

在直角三角形中,三角形函數(shù)的定義是:正弦函數(shù)sinA=對邊/斜邊,余弦函數(shù)cosA=鄰邊/斜邊.在解三角形運(yùn)算中,有余弦定理和正弦定理:設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,它們所對的邊分別為a,b,c.余弦定理為:a^2=b^2+c^2-2bccosA.b^2=a^2+c^2-2accosB.c^2=a^2+b^2-2abcosC.正弦定理:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.R---三角形的外接圓的半徑.a/sinA=b/sinB=c/sinC

? 余弦定理課件 ?

1、余弦定理是解三角形的重要依據(jù)，要給予足夠重視。本節(jié)內(nèi)容安排兩節(jié)課適宜。第一節(jié)，余弦定理的引出、證明和簡單應(yīng)用；第二節(jié)復(fù)習(xí)定理內(nèi)容，加強(qiáng)定理的應(yīng)用。

2、本節(jié)課的重點(diǎn)首先是定理的證明，其次才是定理的應(yīng)用。我們傳統(tǒng)的定理概念教學(xué)往往采取的是“掐頭去尾燒中斷”的方法，忽視了定理、概念的形成過程，只是一味的教給學(xué)生定理概念的結(jié)論或公式，讓學(xué)生通過大量的題目去套用這些結(jié)論或形式，大搞題海戰(zhàn)術(shù)，加重了學(xué)生的負(fù)擔(dān)，效果很差。學(xué)生根本沒有掌握住這些定理、概念的形成過程，不能明白知識的來龍去脈，怎么會(huì)靈活的應(yīng)用呢？事實(shí)上已經(jīng)證明，這種生搬硬套、死記硬背式的教學(xué)方法和學(xué)習(xí)方法已經(jīng)不能適應(yīng)新課標(biāo)教育的教學(xué)理念。新課標(biāo)課程倡導(dǎo)：強(qiáng)調(diào)過程，重視學(xué)生探索新知識的經(jīng)歷和獲得的新知的體會(huì)，不能再讓教學(xué)脫離學(xué)生的內(nèi)心感受，把“發(fā)現(xiàn)、探究知識”的權(quán)利還給學(xué)生。

? 余弦定理課件 ?

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